::Δευτέρα, 11 Δεκεμβρίου, 2017
Μαθήματα Σχολής - Εξάμηνο Η' Εκτύπωση E-mail

 

Εξάμηνο Η'

 

- PM438: Συναρτησιακή Ανάλυση (6 ECTS)

-

Χώροι Lp: οι ανισότητες των Hölder και Minkowski. Σύγκλιση κατά norm τάξης p  [1, ). Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή στον Lp. Το θεώρημα αναπαράστασης του F. Riesz. Ο συζυγής χώρος του Lp. Χώροι Banach: Διανυσματικοί χώροι στο ℝ ή ℂ. Γραμμικοί μετασχηματισμοί και norm. Ο συζυγής χώρος. Φυσικός ισομορφισμός. Ανακλαστικοί χώροι. Τα θεωρήματα Hahn-Banach, ανοικτής απεικόνισης, κλειστής γραφικής, αρχής του ομοιόμορφα φραγμένου ή Banach-Steinhaus. Ασθενείς τοπολογίες. Χώροι Hilbert: Εσωτερικό γινόμενο σε μιγαδικό διανυσματικό χώρο. Ανισότητα των Cauchy- Buniakovsky-Schwarz. Η ανάλυση H = M  M. Ορθοκανονικά και πλήρη συστήματα. Ο συζυγής χώρος και το θεώρημα αναπαράστασης του F. Riesz.

- PM437: Θεωρία Τελεστών (6 ECTS)


Στοιχεία από την θεωρία χώρων Banach. Χώροι Hilbert. Θεωρία φραγμένων γραμμικών τελεστών. Φραγμένοι τελεστές σε χώρους Hilbert. Ασθενής, ισχυρή, ομοιόμορφη σύγκλιση. Θετικοί και γνησίως θετικοί τελεστές. Συναρτησιακά. Αξιοσημείωτες σχέσεις και ιδιότητες φραγμένων τελεστών. Διάφορα είδη φραγμένων τελεστών (αυτοσυζυγείς, κανονικοί, προβολικοί, ισομετρικοί, μοναδιαίοι, συμπαγείς, κ.λπ.). Η έννοια και η σημασία του φάσματος. Φυσική σημασία του φάσματος. Το φάσμα κανονικών, αυτοσυζηγών και συμπαγών τελεστών. Εφαρμογές.

- AM438: Μετασχηματισμός Fourier, Κατανομές και Eφαρμογές (6 ECTS)


Μέρος Πρώτο: Χώροι ελεγκτικών συναρτήσεων και οι δυϊκοί τους, ανάλυση των γενικευμένων συναρτήσεων (κατανομές), διαφορικές εξισώσεις κατανομών. Η συνάρτηση Green για προβλήματα συνοριακών τιμών γραμμικών ΣΔΕ 2ης τάξης. Το συζυγές πρόβλημα και η λύση του πλήρως μη-ομογενούς προβλήματος μέσω της συνάρτησης Green.
Μέρος Δεύτερο: Ήπιες κατανομές, μετασχηματισμός Fourier και ιδιότητες, συνέλιξη. Ο μετασχηματισμός Fourier σε ένα χώρο Hilbert, ο τύπος του Parseval και ο τύπος του Plancherel.
Μέρος Τρίτο (Εφαρμογές): Η θεμελιακή λύση της εξίσωσης της διάχυσης, συναρτήσεις Green και η μέθοδος των ειδώλων για προβλήματα συνοριακών τιμών. Συναρτήσεις Green για την εξίσωση Poisson στο επίπεδο, η δισδιάστατη "δ συνάρτηση" του Dirac. Η μέθοδος των ειδώλων και η λύση του μη ομογενούς προβλήματος Dirichlet στον δίσκο.

- DI434: Επίλυση Προβλήματος και Διαμόρφωση Μαθηματικών Εννοιών (6 ECTS)


Εισαγωγή στην Επίλυση Προβλήματος (Problem Solving). Ευρετικές ως “μεθοδολογία” επίλυσης προβλημάτων. Μεταγνώση και Εκτελεστικός Έλεγχος. Ανάκληση από τον λύτη προϋπάρχουσας μαθηματικής γνώσης. Νοερή Επιχειρηματολογία. Δημιουργία μαθηματικού προβλήματος (Problem Posing). Η κατασκευή ορισμών στην τάξη των μαθηματικών και ο ρόλος των ορισμών στην ανάπτυξη μάθησης μαθηματικών θεωριών


- ST437: Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων (6 ECTS)


Εισαγωγή στην ανάλυση δεδομένων. Μέθοδοι και τεχνικές της ανάλυσης και της επεξεργασίας των στατιστικών δεδομένων. Οι παραγοντικές μέθοδοι: η ανάλυση σε κύριες συνιστώσες και η ανάλυση αντιστοιχιών. Οι μέθοδοι της ταξινόμησης. Η επεξεργασία των στατιστικών δεδομένων στον ηλεκτρονικό υπολογιστή με τη χρησιμοποίηση στατιστικών πακέτων. Διάφορες εφαρμογές των μεθόδων ανάλυσης στις Κοινωνικές Επιστήμες και στις Οικονομικές Επιστήμες.

- ST438: Θεωρία Δειγματοληψίας (6 ECTS)


Γενικά περί δειγματοληπτικών μεθόδων. Απλή τυχαία δειγματοληψία: εκτίμηση μέσης τιμής, ολικής τιμής, ποσοστού. Kατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους αυτές. Επιλογή μεγέθους δείγματος. Τυχαία δειγματοληψία με επανάθεση. Εκτίμηση παραμέτρων σε πληθυσμούς. Στρωματοποιημένη τυχαία δειγματοληψία: εκτίμηση μέσης τιμής, ολικής τιμής, ποσοστού, αρχή της στρωματοποίησης. Επιλογή μεγέθους δείγματος, αναλογική κατανομή δειγματικών μεγεθών, κατανομή Neyman. Συστηματική δειγματοληψία. Εκτιμητές λόγου και παλινδρόμησης. Δειγματοληψία κατά συστάδες (μονοσταδιακή, δισταδιακή, κ.λπ.), εκτίμηση παραμέτρων (μέση τιμή, ολική τιμή). Δειγματοληψία με άνισες πιθανότητες επιλογής, εκτιμητής Horvitz-Thompson, διπλή δειγματοληψία, τεχνική τυχαίας απόκρισης.

- IC438: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (6 ECTS)


Η έννοια του αποδοτικού υπολογισμού - υπολογιστικοί πόροι - χρόνος, μνήμη. Πολυπλοκότητα αλγορίθμων, βέλτιστοι αλγόριθμοι. Βασικές τεχνικές στην ανάλυση και σχεδιασμό αλγορίθμων. Αλγόριθμοι Greedy. Η τεχνική και οι αλγόριθμοι “Διαίρει και Βασίλευε”. Παραγόμενα δέντρα ελάχιστου κόστους: οι αλγόριθμοι των Kruskal και Prim. Μη κατευθυντικά γραφήματα: Αναζήτηση κατά βάθος. Εύρεση σημείων διαμέρισης και δισυνεκτικών συνιστωσών. Το πρόβλημα του Matching σε διμερή γραφήματα. Κατευθυντικά γραφήματα: Εύρεση ισχυρά συνεκτικών συνιστωσών. Αναζήτηση κατά βάθος. Ελάχιστα μονοπάτια: Dijkstra, Bellman-Ford, τοπολογική διάταξη και ελάχιστα μονοπάτια σε DAG (Directed Acyclic Graphs). Πολυπλοκότητα προβλημάτων. Παραδείγματα. Υπολογιστικά μοντέλα. Η μηχανή Turing. Μη ντετερμινιστική μηχανή Turing. Κλάσεις πολυπλοκότητας. Οι έννοιες της αναγωγής (λογαριθμικού χώρου - πολυωνυμικού χρόνου) και της πληρότητας. Οι κλάσεις P και NP. Ορισμοί. NP-πληρότητα. Το Θεώρημα του Cook. Μερικά NP-πλήρη προβλήματα (ικανοποιησιμότητα και παραλλαγές, γραφοθεωρητικά προβλήματα).

- PM464: Στοιχεία Αντιμεταθετικής Άλγεβρας (6 ECTS)

Γρ. Προτσώνης

Εισαγωγικές έννοιες (Δακτύλιοι, πηλίκα αντιμεταθετικών δακτυλίων, Maximal και πρώτα ιδεώδη, πηλίκα διατεταγμένων δακτυλίων κ.λπ.). Δακτύλιοι κλασμάτων, Δακτύλιοι Noether, Ακέραιοι επί ενός δακτυλίου, Διακριτές διατιμήσεις, κλασματικά ιδεώδη, Δακτύλιοι Dedekind και ανάλυση ιδεωδών σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών εντός αυτού. Αφινικές αλγεβρικές πολλαπλότητες, Θεώρημα Hilbert (Nullstellensatz).

- AM469: Δυναμική Αστρονομία (6 ECTS)


Βασικές έννοιες της Αστρονομίας. Κινήσεις της Γης. Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων. Στοιχεία Σφαιρικής Τριγωνομετρίας. Χρόνος (μέτρηση και ημερολόγια). Ηλιακό Σύστημα. Προβλήματα ν σωμάτων (και παραλλαγές αυτών) στην Δυναμική Αστρονομία και ειδικότερα στην Ουράνιο Μηχανική. Η θεωρία Lagrange – Hamilton για τα προβλήματα της Δυναμικής Αστρονομίας. Αρχές Πυραυλικής και Διαστημικά ταξίδια.

- AM468: Εισαγωγή στη Σύγχρονη Φυσική (6 ECTS)


Στοιχεία Ειδικής Σχετικότητας. Κβαντική θεωρία της ύλης. Στοιχεία Στατιστικής Φυσικής. Η έννοια της συμμετρίας στη Φυσική – Ομάδες και Άλγεβρες Lie. Ατομική και πυρηνική δομή. Στοιχειώδη σωμάτια – θεμελιώδεις δυνάμεις – ενοτικά μοντέλα.

- AM467: Χάος και Φράκταλς (6 ECTS)

-

Μη γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου (απεικονίσεις) μιας και δυο διαστάσεων. Η λογιστική απεικόνιση και η δυναμική μοντέλων εξέλιξης πληθυσμών. Μετάβαση στο χάος μέσω: (1) Διακλαδώσεων διπλασιασμού περιόδων, (2) Διαλειπτότητας και (3) Διάσπασης σχεδόν περιοδικών τροχιών. Μέθοδος επανακανονικοποίησης (renormalization) και «παγκόσμιοι» αριθμοί του Feigenbaum. Παράξενοι ελκυστές και τα μοντέλα των Hénon και Lorenz. Μορφοκλασματικά σύνολα (fractals), διάσταση χωρητικότητας αυτών και η διάσταση Hausdorff. Αναλλοίωτα σύνολα, συμβολική δυναμική και η θεωρία του χάους του Smale. Πολυμορφοκλασματικές κατανομές (multifractals) και η θεωρία των γενικευμένων διαστάσεων. Μη γραμμική ανάλυση χαοτικών χρονοσειρών και εφαρμογές στη Μετεωρολογία, τη Βιολογία, τη Γεωλογία, την Οικονομία και άλλες επιστήμες.

- DI465: Φυσικές Γλώσσες και Μαθηματικός Λόγος (6 ECTS)

Δεν προσφέρεται το ακαδημαϊκό έτος 2016-17

Χρήσιμες έννοιες από τη σύγχρονη γλωσσολογία. Η γένεση του μαθηματικού λόγου, ιστορική αναδρομή. Ο μαθηματικός λόγος την εποχή του Ευκλείδη. Η εμφάνιση των συμβόλων μεταβλητών και της συμβολικής γλώσσας της άλγεβρας. Οι τυπικές μαθηματικές γλώσσες. Η δομή και η λειτουργία του μαθηματικού λόγου. Η μαθηματική φράση, η μαθηματική έκφραση, ταξινόμηση των μαθηματικών εκφράσεων. Τα γλωσσολογικά επίπεδα (μαθηματικό – επιμαθηματικό, γλώσσα – μεταγλώσσα). Κριτήρια διάκρισης. Τα λογικά στοιχεία της μαθηματικής γλώσσας στον ελληνικό μαθηματικό λόγο. Η δέσμευση των μεταβλητών και οι λογικογλωσσικές πράξεις. Οι χαρακτηριστές μεταβολής. Πολυσημασία – γλωσσικές αβαρίες και προβλήματα κατανόησης. Γλώσσα και σκέψη στη διδακτική πράξη. Εφαρμογές: λογικογλωσσική ανάλυση σύγχρονων ελληνικών μαθηματικών κειμένων και σχολικών βιβλίων.

- Ασφαλιστικά Μαθηματικά

Δεν προσφέρεται το ακαδημαϊκό έτος 2016-17

Ανατοκισμός-ράντες, ράντες με τυχαίο επιτόκιο ή χρόνο. Κατανομές επιβιώσεως, πίνακες επιβιώσεως. Βασικές αρχές υπολογισμού ασφαλίστρου, ασφαλιστικά σχήματα. Αρχή-θεωρία της ωφελιμότητας. Θεωρία των κινδύνων: ατομικό πρότυπο, συλλογικό πρότυπο μιας περιόδου, συλλογικό πρότυπο μακράς περιόδου, στοχαστικές ανελίξεις. Στοιχεία θεωρίας χρεωκοπίας.

- ST463: Μη Παραμετρική Στατιστική (6 ECTS)


Εισαγωγή στην μη Παραμετρική Στατιστική. Μερικοί έλεγχοι υποθέσεων βασισμένοι στη Διωνυμική κατανομή (προσημικός έλεγχος, έλεγχος McNemar, έλεγχος των Cox and Stuart). Μη παραμετρικές μέθοδοι βασισμένες στις τάξεις μεγέθους των παρατηρήσεων ενός ή δύο δειγμάτων (έλεγχος Wilcoxon για ένα δείγμα παρατηρήσεων ή ζευγών παρατηρήσεων, έλεγχος Mann-Whitney, έλεγχος Kruskal-Wallis). Έλεγχοι ισότητας διασπορών. Μέτρα συσχέτισης τάξης μεγέθους (συντελεστής του Spearman, συντελεστής συσχέτισης του Kendall). Έλεγχοι κατανομών (Έλεγχος Kolmogorov-Smirnov, έλεγχος Lilliefors για κανονικότητα και εκθετικότητα). Έλεγχοι υποθέσεων για ισότητα δύο κατανομών. Έλεγχοι υποθέσεων για ισότητα κατανομών βασιζόμενοι σε περισσότερα από δύο ανεξάρτητα δείγματα. Μη παραμετρική παλινδρόμηση. Πίνακες Συνάφειας.

- ST465: Ουρές Αναμονής (6 ECTS)


Περιγραφή των ουρών αναμονής και γενικά αποτελέσματα: βασικά χαρακτηριστικά των ουρών αναμονής, μέτρα λειτουργικότητας και απόδοσης. Ανασκόπηση Μαρκοβιανών διαδικασιών, η ιδιότητα PASTA, το θεώρημα Little. Απλές Μαρκοβιανές Ουρές. Το σύστημα Μ/Μ/1/1 και τροποποιήσεις αυτού: ανάλυση των καταστάσεων, μελέτη του χρόνου αναμονής και της περιόδου συνεχούς απασχόλησης, η διαδικασία αναχωρήσεων. Η Μ/Μ/k ουρά, το μοντέλο με πεπερασμένο αριθμό δυνητικών πελατών. Η Μ/Μ/1 ουρά με ομαδικές αφίξεις και ομαδικές αναχωρήσεις, η M/M/k ουρά με ετερογενείς υπηρέτες, η M/M/1/1 ουρά με επαναπροσπάθειες. Μοντέλα Erlang και η μέθοδος των φάσεων. Μαρκοβιανά δίκτυα ουρών. Απλές Μαρκοβιανές ουρές σε σειρά, απλά δίκτυα Μαρκοβιανών ουρών, ανοικτά και κλειστά δίκτυα Jackson. Εφαρμογές στην μοντελοποίηση ασύρματων δικτύων και βιομηχανικων γραμμών παραγωγής. Μη Μαρκοβιανά συστήματα εξυπηρέτησης. Το M/G/1 σύστημα, ανάλυση των καταστάσεων, μελέτη του χρόνου αναμονής και της περιόδου συνεχούς απασχόλησης. Συστήματα με διακοπές υπαλλήλου. Εφαρμογές στην διαχείριση ενέργειας ασύρματων φορητών συσκευών και στις τηλεπικοινωνίες. Το σύστημα G/M/1. Εισαγωγή στις αλγοριθμικές τεχνικές μεθόδων ανάλυσης στοχαστικών μοντέλων.

- IC464: Εισαγωγή στην Ανάλυση Διαστημάτων (6 ECTS)


Γιατί αριθμητική επαλήθευση αποτελεσμάτων. Σύντομη ιστορική αναδρομή. Η αριθμητική στους υπολογιστές. Επεκτάσεις της αριθμητικής κινητής υποδιαστολής (floating point arith¬metic). Η προέλευση της Ανάλυσης Διαστημάτων. Παραδείγματα υπολογισμών με αυτόματη επαλήθευση. Αριθμοί διαστήματα και αριθμητική διαστημάτων. Συναρτήσεις διαστημάτων. Διανύσματα και πίνακες διαστημάτων. Γραμμικές εξισώσεις διαστημάτων. Μη γραμμικές εξισώσεις μιας μεταβλητής. Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων. Ολική βελτιστοποίηση. Εφαρμογές: Χρήση βιβλιοθήκης INTLIB. Χρήση του πακέτου GlobSol (Global Solution), για όσους γνωρίζουν Fortran 90, ή της βιβλιοθήκης C-XSC (μια C++ βιβλιοθήκη για eXtended Scientific Computation), για όσους γνωρίζουν C++.


- OR461: Φυσική της Ατμόσφαιρας ΙΙ - Μετεωρολογία ΙΙ (6 ECTS)

Ανδρ. Καζαντζίδης

H ηλιακή και γήινη ακτινοβολία. Γενικές αρχές. Οι νόμοι ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Η ένταση της ηλιακής ακτινοβολίας. Η αλληλεπίδραση μεταξύ ατμόσφαιρας και ηλιακής ακτινοβολίας. Η εξασθένιση της ηλιακής ακτινοβολίας. Η γήινη ακτινοβολία. Η ενέργεια της ατμόσφαιρας. Γενικές αρχές. Οι χρονικές μεταβολές της ενέργειας της ατμόσφαιρας. Αριθμητικές εκτιμήσεις της ενέργειας της ατμόσφαιρας. Εξισώσεις της ενέργειας. Βασικές αρχές μέτρησης βασικών μετεωρολογικών παραμέτρων. Γενικές αρχές. Αρχές μέτρησης θερμοκρασίας, ατμοσφαιρικής υγρασίας, ανέμου, υετού και ατμοσφαιρικής πίεσης. Ακτινομετρικά μεγέθη – Βασικές αρχές μέτρησης - Φασματοφωτόμετρα και ακτινόμετρα. Ατμοσφαιρικοί ρύποι - Αιωρούμενα σωματίδια - Βασικές αρχές μέτρησης. Μετρήσεις ανώτερης ατμόσφαιρας και μετρήσεις καθ’ ύψος. Γενικές αρχές. Μεταβολές καθ’ ύψος των βασικών μετεωρολογικών παραμέτρων και της συγκέντρωσης του όζοντος. Ατμοσφαιρική τηλεπισκόπηση με ακτίνες laser. Διαφορική οπτική απορρόφηση.

- AL461: Διπλωματική Εργασία (12 ECTS)


Η «Διπλωματική Εργασία» είναι μια εκτεταμένη εργασία – αναλυτική, συνθετική ή εφαρμογής – που εκπονείται από τους φοιτητές στην τελική φάση των σπουδών τους (πρέπει να βρίσκονται τουλάχιστον στο 7ο εξάμηνο των σπουδών τους), προκειμένου να ολοκληρωθεί η εμβάθυνσή τους σε κάποιο επιστημονικό θέμα του ενδιαφέροντός τους.
Η ανάθεση της Διπλωματικής Εργασίας ξεκινάει με την έναρξη του χειμερινού εξαμήνου εκάστου ακαδημαϊκού έτους. Οι φοιτητές, από την ημερομηνία αυτή, μπορούν να συζητήσουν περί του θέματος της εργασίας τους με μέλη ΔEΠ του Τμήματος και, εφόσον υπάρξει συμφωνία, να καταθέσουν αμέσως υπογεγραμμένο το έντυπο εκπόνησης διπλωματικής εργασίας στη Γραμματεία του Τμήματος. Η Γραμματεία αναρτά τα ονόματα των φοιτητών και τα θέματα των διπλωματικών εργασιών που έχει αναλάβει το κάθε μέλος ΔΕΠ στον ιστότοπο ανακοινώσεων του Τμήματος, ώστε να ενημερώνονται οι φοιτητές για τη διαθεσιμότητα των μελών ΔΕΠ για επίβλεψη διπλωματικών εργασιών. Η ανάληψη της εποπτείας μιας διπλωματικής εργασίας εναπόκειται στη διακριτική ευχέρεια του διδάσκοντος, ο οποίος κατά τη κρίση του, μπορεί να θέτει απαραίτητες προϋποθέσεις. Η εργασία, αν και μπορεί να εκπονείται σε δύο ακαδημαϊκά εξάμηνα, υποχρεωτικά αυτά είναι το χειμερινό και το εαρινό εξάμηνο του ίδιου ακαδημαϊκού έτους. Η επιλογή του μαθήματος «Διπλωματική Εργασία» δηλώνεται κατά την υποβολή δηλώσεων μαθημάτων μόνον του εαρινού εξαμήνου, με τις πιστωτικές μονάδες της να υπολογίζονται στο ανώτατο όριο των πιστωτικών μονάδων της δήλωσης. Η Γραμματεία, μετά τη λήξη των δηλώσεων εαρινού εξαμήνου, κοινοποιεί στους τομείς κατάσταση με τα ονόματα των φοιτητών και των αντίστοιχων επιβλεπόντων. Ως χρονική διάρκεια της εκπόνησης της Διπλωματικής Εργασίας υπολογίζεται η περίοδος από την εκάστοτε έναρξη του εαρινού εξαμήνου μέχρι την 1η Ιουνίου. Το χρονικό αυτό διάστημα είναι το ελάχιστο επιτρεπόμενο και μπορεί να επεκταθεί αυτοδίκαια μέχρι την 30η Σεπτεμβρίου εάν οι δεδομένες συνθήκες, κατά την κρίση του επιβλέποντος μέλους ΔΕΠ, το απαιτήσουν για τη βελτιστοποίηση του τελικού αποτελέσματος.
Η Διπλωματική Εργασία είναι ατομική, ανατίθεται από ένα μέλος ΔΕΠ του Τμήματος σε έναν μόνο φοιτητή, όχι σε ομάδα φοιτητών. Οι φοιτητές εκπονούν τη Διπλωματική Εργασία αναπτύσσοντας δική τους πρωτοβουλία, ενώ παράλληλα καθοδηγούνται από τον επιβλέποντα. Δεν πρόκειται για μια απαλλακτική εργασία για ένα σεμινάριο πάνω σε θέμα που δίνεται από τον επιβλέποντα, αλλά τη σημαντικότερη προπτυχιακή εργασία που θα αποτελεί το επιστέγασμα των σπουδών του φοιτητή και το αντιπροσωπευτικό κείμενo αυτών. Η επεξεργασία της εργασίας πρέπει να γίνεται με τρόπο εντατικό και οργανωμένο, προκειμένου να επιτυγχάνεται η καλύτερη αξιοποίηση του χρόνου και του φοιτητή και του επιβλέποντα. Ο φοιτητής έχει συνεχή επικοινωνία και συνεργασία με τον επιβλέποντα, ο οποίος κάθε φορά ελέγχει την πρόοδο της εργασίας του, διατυπώνει της παρατηρήσεις του και όταν θεωρήσει ότι η Διπλωματική Εργασία έχει ολοκληρωθεί, δίνει την έγκριση για την παρουσίαση και αξιολόγησή της.

- AL462: Πρακτική Άσκηση


Απαιτείται η ένταξή της στο Πρόγραμμα Πρακτικής Άσκησης του Πανεπιστημίου Πατρών η οποία κι αναμένεται πριν την έναρξη του επόμενου ακαδημαϊκού έτους 2017-2018.




 
(c) 2007-2017 Τμήμα Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Πατρών
Joomla! is Free Software released under the GNU/GPL License.