Back to Home Page

Back to Mathematics Home Page

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ

Τίτλος Μαθήματος: Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic)

Διδάσκων: Κων/νος ΔΡΟΣΟΣ

Περιγραφή:

• H έννοια της ασάφειας. Ασάφεια, τυχαιότητα και γενική αβεβαιότητα. Αναπαράσταση ασαφών συνόλων μέσω υπερκύβων.
• Διατεταγμένα σύνολα και δικτυωτά. Σχέσεις ισοδυναμίας και διαμερίσεις. α-διατομές, Θεωρήματα Αναπαράστασης ασαφών συνόλων και η Αρχή της Επέκτασης. Ασαφείς αριθμοί και ποσότητες.
• Λογικές έννοιες των ασαφών συνόλων. Δίτιμη Λογική. Πλειότιμες Λογικές και η Ασαφής Λογική με την στενή έννοια. Λογικές αβεβαιότητας.
• Γενικευμένοι λογικοί σύνδεσμοι. Ασαφείς σχέσεις και ασαφείς διαμερίσεις, ασαφείς συναρτήσεις. Aλγεβρα των ασαφών σχέσεων.

Στόχοι

• Να διδαχθούν οι βασικές έννοιες της Θεωρίας των ασαφών συνόλων. Ένα δεύτερο μάθημα θα επικεντρωνόταν στα Ασαφή Μέτρα.
• Να εξοικειωθούν οι φοιτητές με τη βασική βιβλιογραφία.
• Να μπορούν να εφαρμόσουν τη θεωρία σε απλά κατ’ αρχήν προβλήματα της πληροφορικής αλλά και των ευφυών συστημάτων γενικώς.

Βιβλιογραφία

1. H. T. Nguyen and E. A. Walker. A first Course in Fuzzy Logic. 2nd Endition Chapman & Hall/CRC Press 2000. (Main Text Book)

2. G. Klir and B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice-Hall, 1995.

3. E. Cox. The Fuzzy Handbook. Academic Press, 1994.

Προχωρημένα Μαθηματικά βιβλία και σημειώσεις:

• C. A. Drossos. Algebraic Structures of Generalized Many-valued Logic: Cummutative Residuated l-monoids. (Semirar Notes, available from http://www.math.upatras.gr/~cdrossos/docs/monoids_ps.zip
• P. Hajek. Matamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer 1998.
• R. Cignoli, I. D'Ottaviano, D. Mundici. Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning. Kluwer Acad. Publ. Trends in Logic Vol. 7, Dordrecht, 1999.
• S. Gottwald. Many-Valued Logic: An Introduction into Theory and Applications. (Fothcomming)

Δομή του Μαθήματος Ο κορμός του μαθήματος θα είναι προσιτός σε όλους τους φοιτητές, άσχετα αν ενδιαφέρονται για εφαρμοσμένη ή θεωρητική κατεύθυνση. Στο μάθημα (ενός μέσου μαθηματικού επιπέδου) απλά θα δοθούν οι θεμελιακές γνώσεις. Από κει και ύστερα ο φοιτητής μπορεί να επιλέξει, η δουλειά που υποχρεούται να κάνει στο σπίτι, να είναι περισσότερο εφαρμοσμένη ή περισσότερο μαθηματική. Στην πρώτη περίπτωση έχει να επιλέξει από την βιβλιογραφία στο G. Klir and B. Yuan (1731 εργασίες, κατανεμημένες σε διάφορα αντικείμενα εφαρμογών) κάποιο αντικείμενο για κάποια εργασία. Πολύτιμο είναι επίσης και το E. Cox. The Fuzzy Handbook. Είναι ο ιδανικός σύμβουλος για τον μέσο τεχνολόγο που ενδιαφέρεται να ενσωματώσει σε κάποια εφαρμογή, την ασαφή λογική. Στην δεύτερη περίπτωση ο φοιτητής πρόκειται να ασχοληθεί με την μαθηματική θεωρία πίσω από την Ασαφή Λογική και άλλες συναφείς λογικές. Η πιο πάνω βιβλιογραφία είναι βασική.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ

1. Διάλεξη. Παραδείγματα ασαφών συνόλων. Η έννοια του συνόλου και οι γενικεύσεις της. Εκτασιακοί και εντασιακοί χαρακτηρισμοί συνόλων. Γεωμετρία-Λογική. Συναρτήσεις και η έννοια του στοιχείου. [Διαφάνειες: Young, some, few, ασαφείς διαμερίσεις] Πράξεις ασαφών συνόλων. Ασαφείς διαμερίσεις.

2. Διάλεξη. Σχέσεις, x-διατομές, y-διατομές, διαγώνια σχέση, επαγόμενες συνολοσυναρτήσεις. Δικτυωτά και απειρομελείς πράξεις σε ένα πλήρες δικτυωτό. Αρχή της επέκτασης, καρτεσιανά γινόμενα αφαφών συνόλων, α-διατομές και ιδιότητες, άνω-κάτω σύνολα σε ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο, βασικές προτάσεις.

3. Διάλεξη. Ασαφείς ποσότητες, ασαφείς αριθμοί, ασαφή διαστήματα.

4. Διάλεξη. Λογικά ζητήματα σχετιζόμενα με τα ασαφή σύνολα. Κλασσική 0-1 λογική. Προτασιακός και κατηγορηματικός λογισμός.

5. Διάλεξη. Τρίτιμη λογική, ασαφής λογική, λογική του Lukasiewicz, ασαφής λογική με τιμές αλήθειας διαστήματα. Πιθανοτική λογική.

6. Διάλεξη. Βασικοί λογικοί σύνδεσμοι, t-norms και t-conorms. Γεννήτριες για t-norms και βασικές προτάσεις. Ισομορφισμοί t-norm, αρνήσεις, t-conorms.

7. Διάλεξη. Συστήματα De Morgan, ασαφή σύνολα με τιμές διαστήματα.

8. Διάλεξη. Ασαφείς συνεπαγωγές και άλλοι σύνδεσμοι.

9. Διάλεξη. Ασαφείς σχέσεις, πράξεις με ασαφείς σχέσεις, ασαφείς διαμερίσεις.

10. Διάλεξη. Καθολική προσέγγιση. Βάσεις ασαφών κανόνων. Η έννοια της συναρτήσεως ως ασαφής προσέγγιση με μια βάση ασαφών κανόνων.

11. Διάλεξη. Σύνοψη όσων είπαμε και δεν είπαμε!

Aξιολόγηση: Εκτός της βασικής εργασίας που υποχρεούται να κάνει ο κάθε φοιτητής, δίνονται ασκήσεις από το βιβλίο που ο φοιτητής υποχρεούται να παραδίδει κατά τακτά διαστήματα. Στο τέλος παρουσιάζονται οι εργασίες και ο φοιτητής θα πρέπει να είναι έτοιμος να απαντήσει σε σχετικά ερωτήματα.

Εργασίες (Projects): Κάθε φοιτητής πρέπει να εκπονήσει σχετική εργασία που θα καθοριστεί μετά από συζήτηση με τον διδάσκοντα.

Back to Home Page

Back to Mathematics Home Page