ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος

Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΟΔΗΓΟΥΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

1.1 Εισαγωγή

1.2 Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών

1.2.1 Ανάλυση

1.2.1.1Υπολογισμός γενικευμένων ολοκληρωμάτων

1.2.1.2 Ο τύπος του Euler

1.2.2. Γεωμετρία

1.2.2.1 Κλίση καμπυλών

1.2.2.2 Ορθογώνιες τροχιές

1.2.2.3 Ισογώνιες τροχιές

1.2.2.4 Γενικά προβλήματα γεωμετρίας

1.2.3 Πιθανότητες

1.3 Μηχανική

1.3.1 Εφαρμογές

1. Ελεύθερη πτώση αντικειμένου

1.1 Ρίψη σταφυλιού από ουρανοξύστη

1.2 Πτώση αλεξιπτωτιστή

2. Ρίψη αντικειμένου προς τα άνω

3. Κρούσεις ελαστικής μπάλας στο έδαφος

4. Ταχύτητα διαφυγής

5. Ολίσθηση αντικειμένου σε κεκλιμένο επίπεδο

6. Κίνηση ενός μονόξυλου

7. Ολισθένουσα αλυσίδα

8. Απογείωση ενός αεροπλάνου

9. Περιγραφή της κίνησης ενός διαστημικού οχήματος κατά την επιστροφή του

1.4 Ηλεκτρικά κυκλώματα Ι

1.5 Φαινόμενα ψύξης-θέρμανσης

1.5.1 Ο νόμος ψύξης του Newton

1.5.1.1 Εφαρμογές

1. Θερμοκρασία τσαγιού

2. Θερμοκρασία μιας κρύας μπύρας

3. Θερμοκρασία στο εσωτερικό του κτιρίου του Τμήματος Μαθηματικών

4. Εύρεση της θερμοκρασίας του εσωτερικού ενός ψυγείου

5. Εύρεση του χρόνου θανάτου ενός ανθρώπου

6. Θα προλάβει ο πρόεδρος να πιεί τον καφέ του πριν αρχίσει το μάθημα;

7. Πότε έβγαλε η Αθηνά τη σόδα από το ψυγείο;

1.5.2 Σταθερή θερμοκρασία περιβάλλοντος μέσου λαμβάνοντας υπόψη εξωτερικούς παράγοντες

1.5.2.1 Ηλιακός θερμοσίφωνας

1.5.3 Μεταβαλλόμενη θερμοκρασία περιβάλλοντος μέσου

1.5.3.1 Εφαρμογές

1. Η θερμοκρασία τον Απρίλιο στο χωριό Αβδέλλα της Πίνδου

2. Η θερμοκρασία τον Ιούλιο στην πόλη του Τυρνάβου

3. Θερμοκρασία φυσαλίδας εντός ρευστού

4. Επανεξέταση του χρόνου θανάτου ενός ανθρώπου

1.5.4 Ο νόμος του Stefan

1.6 Φαινόμενα μίξης-Η εξίσωση συνέχειας

1.6.1 Ίδια ταχύτητα ροής εισόδου και εξόδου

1. Διάλυμα άρμης εντός δεξαμενής Ι

2. Διάλυμα άρμης εντός δεξαμενής ΙΙ

3. Ποσότητα CO₂ σε δωμάτιο καπνιστών

4. Μια δεξαμενή με διάλυμα ζάχαρης

5. Διόρθωση ενός λάθους

6. Διάλυμα μιας χημικής ουσίας

7. Καθαρισμός των μεγάλων λιμνών

8. Δύο συγκοινωνούσες δεξαμενές

9. Πολλές συγκοινωνούσες δεξαμενές

1.6.2 Διαφορετική ταχύτητα ροής εισόδου και εξόδου

1.6.2.1 Ρυθμός εισόδου>Ρυθμός εξόδου

1.6.2.2 Ρυθμός εισόδου<Ρυθμός εξόδου

1.7 Μελέτη της ροής ρευστών

1.7.1 Η εξίσωση του Torricelli

1. Εφαρμογή του νόμου του Torricelli για κυλινδρικά δοχεία

2. Εφαρμογή του νόμου του Torricelli για κωνικά δοχεία

3. Αντιστροφή κωνικού δοχείου

4. Σύγκριση κωνικού και κυλινδρικού δοχείου

5. Χρόνος εκκένωσης νερού που βρίσκεται σε ημισφαιρικό δοχείο

6. Η αρχαία κλεψύδρα

7. Πότε ένας άδειος κουβάς ήταν γεμάτος

1.7.2 Θα γεμίσει (ή όχι) το δοχείο;

1.7.3 Περιστροφική κίνηση υγρού

1.7.4 Ρευστομηχανική

1.8 Άλλα ενδιαφέροντα προβλήματα Φυσικής

1.8.1 Laser

1.8.2 Εξασθένηση ακτίνων Χ

1.8.3 Απορρόφηση του ηλιακού φωτός από το νερό

1.8.4 Ατμοσφαιρική πίεση

1.8.5 Σταθερή ροή θερμότητας

1.8.6 Οικιακή παροχή ζεστού νερού

1.8.7 Το παιχνίδι με το σχοινί

1.8.8 Ιονισμός ενός αερίου

1.8.9 Μεταξύ Γης και Σελήνης

1.8.10 Ταξίδι στο κέντρο της Γης

1.8.11 Το άλμα εις μήκος του Beamon

1.9 Χημεία

1.9.1 Ταχύτητα χημικών αντιδράσεων και κινητικές εξισώσεις

1.9.2 Διάλυση μιας ουσίας στα συστατικά της

1.10 Πληθυσμιακά μαθηματικά πρότυπα

1.10.1 Το μαθηματικό πρότυπο Malthus

1.10.1.1 Εφαρμογές

1. Πρόβλεψη του πληθυσμού των Η.Π.Α. Ι

2. Πρόβλεψη πληθυσμού λαγών

3. Κυνήγι μεταξύ γατιών και ποντικιών

4. Πρόβλεψη του πληθυσμού μιας πόλης

5. Καλλιέργεια μυκήτων

6. Καλλιέργεια κυττάρων

7. Καλλιέργεια μούχλας

1.10.2 Το μαθηματικό πρότυπο Verhulst-Λογιστική εξίσωση

1.10.2.1 Πρόβλεψη του πληθυσμού των Η.Π.Α. ΙΙ

1.10.3 Μαθηματικό πρότυπο λογιστικής εξίσωσης με κρίσιμο σημείο

1.10.4 Το μαθηματικό πρότυπο Gompertz

1.10.5 Το μαθηματικό πρότυπο Pareto

1.10.6 Ένα διαφορετικό μαθηματικό πρότυπο μελέτης πληθυσμών

1.10.7 Ένα ακόμη πληθυσμιακό μαθηματικό πρότυπο για μη κλειστές κοινωνίες

1.11 Ενδιαφέροντα προβλήματα που οδηγούν στη Λογιστική Εξίσωση

1.11.1 Διάδοση μιας επιδημίας

1.11.2 Παραγωγή αντιβιοτικών φαρμάκων

1.11.3 Μόλυνση της ατμόσφαιρας

1.11.4 Κοινωνιολογία-Διάδοση μιας φήμης

1.11.5 Διάδοση μιας τεχνολογικής καινοτομίας

1.11.6 Ροή ρευμάτων ποταμών

1.12 Οικονομία

1.12.1 Επενδύσεις-Ανατοκισμοί

1.12.1.1 Συνεχής ανατοκισμός χωρίς επιπλέον καταθέσεις (αναλήψεις)

1.12.1.2 Εφαρμογές

1. Αλλαγές στην τιμή των αυτοκινήτων

2. Τραπεζική ερμηνεία του e

3. Ο κανόνας του 70

4. Η δύναμη του συνεχούς ανατοκισμού

5. Ο ανατοκισμός εμποδίζει ένα διαφημιστικό κόλπο του Hollywood

6. Το πρόβλημα των Ινδιάνων της Νέας Υόρκης

1.12.1.3 Συνεχής ανατοκισμός με επιπλεόν καταθέσεις (αναλήψεις)

1.12.1.4 Εφαρμογές

1. Πώς να γίνετε εκατομμυριούχοι

2. Επενδύσεις ενός συνταξιούχου

3. Τσιγάρα ή εκατομμύρια;

4. Κερδίζοντας το Λόττο

5. Πόσα χρήματα κερδίζουν πραγματικά στο Λόττο οι Αμερικάνοι;

6. Φοιτητικό δάνειο

1.12.1.5 Μεταβαλλόμενο επιτόκιο και ρυθμός καταθέσεων (αναλήψεων)

1.12.2 Ζήτηση και προσφορά

1.12.3 Αποθέματα

1.13 Αρχαιολογία-Μέθοδοι Χρονόλογησης Αντικειμένων

1.13.1 Διάσπαση ραδιενεργών ουσιών

1.13.1.1 Εφαρμογές

1. Ένα κλασικό πρόβλημα ραδιενεργούς διάσπασης

2. Αριθμός νετρονίων σε μια ατομική στοιβάδα

3. Ραδιενεργός διάσπαση Θορίου-234

4. Πυρηνικά απόβλητα στον Ατλαντικό και Ειρηνικό Ωκεανό

1.13.2 Χρονολόγηση έργων ζωγραφικής

1.13.3 Χρονολόγηση με τη μέθοδο του ¹⁴C

1.13.3.1 Εφαρμογές

1. Εύρεση της ηλικίας των τοιχογραφιών του σπηλαίου Lascaux

2. Ανήκε ή όχι το εργαλείο στον προϊστορικό άνθρωπο;

3. Εύρεση της ηλικίας του τάφου του Sneferu

4. Διαμονή των Σουμερίων στην κοιλάδα του Τίγρη

5. Η ηλικία ενός δεινόσαυρου

6. Η περίφημη Στρογγυλή Τράπεζα

1.13.4 Χρονολόγηση αντικειμένων με τη μέθοδο του οψιανού λίθου

1.14 Ιατρική

1.14.1 Μέτρηση της παροχής αίματος της καρδιάς-Μέθοδος του “έγχρωμου διαλύματος"

1.14.2 Αιμοδιάλυση (Λειτουργία τεχνητού νεφρού)

1.15 Φαρμακολογία-Δόσεις φαρμάκων

1.16 Εκπαίδευση

1.17 Ψυχολογία

1.17.1 Θεωρία μάθησης

1.17.2 Καμπύλη μάθησης (i)

1.17.3 Καμπύλη μάθησης (ii)

1.17.4 Συμπεριφορά των μαζών

1.18 Βιολογία

1.18.1 Ζύμωση

1.18.2 Καταστροφή μικροοργανισμών

1.18.3 Ανάπτυξη φυκιών

1.18.4 Διέλευση ουσιών μέσω λεπτών μεμβρανών

1.18.5 Βοτανική

1.18.6 Ανταγωνισμός των ειδών

1.19 Διάφορα ενδιαφέροντα προβλήματα

1.19.1 Απορρόφηση ενέργειας αθλητικών παπουτσιών τρεξίματος

1.19.2 Εξάχνωση ναφθαλίνης

1.19.3 Κίνηση ενός εντόμου σε περιστρεφόμενη επιφάνεια

1.19.4 Νευρική διέγερση

1.19.5 Αλλομετρικός νόμος

1.19.6 Τι ώρα άρχισε να χιονίζει;

1.19.7 Αλκοτέστ

1. Πότε θα μπορέσει να οδηγήσει νόμιμα ο μεθυσμένος οδηγός;

2. Ήταν μεθυσμένος ο οδηγός την ώρα του ατυχήματος;

3. Ήταν μεθυσμένος ο πλοίαρχος όταν προκάλεσε τη ρύπανση της θάλασσας;

1.19.8 Εστιακή ιδιότητα παραβολοειδών κατόπτρων

1.19.9 Το πρόβλημα του βραχυστοχρόνου

1.19.10 Τροχιά μιας βάρκας κατά μήκος ενός ποταμού

1.19.11 Εντοπισμός υποβρυχίου από αντιτορπιλλικό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΟΔΗΓΟΥΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

2.1 Εισαγωγή

2.2 Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών

2.2.1 Τριγωνομετρία

2.2.2 Γεωμετρία

2.2.2.1 Γεωμετρικός τόπος σημείων καμπής διαφόρων καμπυλών

2.2.2.2 Επίπεδες καμπύλες με σταθερή ακτίνα καμπυλότητας

2.2.2.3 Σχήμα μιας κρεμασμένης αλυσίδας

2.3 Τροχιές Καταδίωξης

2.3.1 Κυνήγι λαγού από σκύλο

2.3.1.1 Παραλλαγές του παραπάνω προβλήματος

1. Κυνήγι περιστεριού από γεράκι

2. Κυνήγι σπουργιτιού από γεράκι και αετό

3. Βομβαρδισμός αεροπλάνου από πύραυλο

4. Ταξίδι ενός αεροπλάνου με πλάγιο άνεμο

2.3.2 Έλκουσα (Tractrix)

2.4 Εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους τομείς της Φυσικής

2.4.1 Βολές

2.4.2 Επανείσοδος διαστημικού οχήματος στην ατμόσφαιρα

2.4.3 Περιγραφή της κίνησης ενός χιονοδρόμου

2.4.4 Απογείωση ενός αεροπλάνου

2.4.5 Εκτροπές δοκών

2.4.6 Ταλαντώσεις

2.4.6.1 Γενικές έννοιες

2.4.6.2 Απλή αρμονική κίνηση

2.4.6.3 Αρμονική ταλάντωση με απόσβεση (αντίσταση)

2.4.6.4 Εξαναγκασμένη ταλάντωση

2.4.6.4.1 Δύναμη εξαναγκασμού σταθερή και απόσβεση ξηράς τριβής

2.4.6.4.2 Δύναμη εξαναγκασμού ανάλογη της ταχύτητας

2.4.6.4.3 Δύναμη εξαναγκασμού περιοδική

2.4.6.4.4 Δύναμη εξαναγκασμού υπό μορφή κλάδου

2.4.6 Ηλεκτρικά κυκλώματα ΙΙ

2.4.7 Εφαρμογές των ταλαντώσεων

1. Ταλάντωση υγρής στήλης

2. Κατακόρυφες ταλάντωσεις σωμάτων που επιπλέουν μέσα σ΄ ένα ρευστό

3. Προστασία ηλεκτρικών συσκευών

4. Κίνηση ελατηρίου εντός πυραύλου

5. Ταξίδι από το Λος Άντζελες στο Τόκυο

6. Κίνηση του εκκρεμούς

7. Σύστημα οδοντωτών ράβδων-γραναζιών

8. Μηχανισμός απόσβεσης θορύβου μιας πόρτας

9. Μετρητής στάθμης νερού

2.5 Οικονομία

2.5.1 Καθορισμός της συμπεριφοράς της τιμής ενός προϊόντος

2.5.2 Σταθεροποίηση της ζήτησης ενός προϊόντος

2.6 Ιατρική

2.6.1 Ένα πρόβλημα καρδιολογίας

2.6.2 Διάγνωση του διαβήτη

2.7 Διάφορα ενδιαφέροντα προβλήματα

2.7.1 Αυτόματος έλεγχος και βοηθητικοί μηχανισμοί

2.7.2 Διάχυση

2.7.3 Ρευστομηχανική

2.7.4 Μελέτη τροχιών δορυφόρων-Αστρονομία

2.7.5 Θεωρία μάθησης

2.7.6 Κοινωνική Συμπεριφορά

2.7.7 Περιοδική Υποτροπιάζουσα Κατατονία

2.7.8 Οικονομία

2.7.9 Ορυκτολογία

2.7.10 Σεισμολογία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

3.1 Εισαγωγή

3.2 Βασικές έννοιες και ορισμοί

3.3 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

3.3.1 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης πρώτου βαθμού

3.3.1.1 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών

3.3.1.2 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών

3.3.1.3 Ομογενείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

3.3.1.4 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε ομογενείς

3.3.1.5 Ακριβείς συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

3.3.1.6 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις αναγόμενες σε ακριβείς. Πολλαπλασιαστές Euler

3.3.1.7 Γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

3.3.1.8 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Bernoulli

3.3.1.9 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Riccati

3.3.1.10 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, πρώτου βαθμού. Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων του Picard

3.3.1.10.1 Εισαγωγή

3.3.1.10.2 Μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων του Picard

3.3.1.2 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, ανώτερου βαθμού

3.4 Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

3.5 Γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

3.5.1 Γενική θεωρία γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

3.5.2 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές

3.5.3 Ειδικά θέματα σχετικά με τη διαφορική εξίσωση 2^ας τάξης y΄΄(x) + p(x)y΄(x) + q(x)y(x) = f(x)

3.6 Ποιοτική μελέτη των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης f΄΄(x) + U(x)f(x)=0

3.6.1 Εισαγωγή

3.6.2 Περιοδικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης f΄΄(x) + U(x)f(x)=0

3.6.3 Ταλαντώσεις των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης f΄΄(x) + U(x)f(x)=0

Ελληνική Βιβλιογραφία

Ξενόγλωσση Βιβλιογραφία