ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

 

1 Εισαγωγή

1.1  Ιστορικά στοιχεία σχετικά με τις εξισώσεις διαφορών

1.2  Εφαρμογές των εξισώσεων διαφορών

2  Βασικές έννοιες και ορισμοί

   Ασκήσεις

3  Εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης

3.1  Γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης

3.1.1        Επίλυση της γενικής κλάσης γραμμικών εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης με τη μέθοδο της επαναληπτικής διαδικασίας

3.1.2        Επίλυση της γενικής κλάσης γραμμικών εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης με τη μέθοδο του αθροισίμου παράγοντα

3.1.3        Επίλυση της γενικής κλάσης γραμμικών εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης με τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων

3.1.4        Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης με σταθερούς συντελεστές και σταθερό μη ομογενή όρο

   Ασκήσεις

3.2  Μη γραμμικές εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης

3.2.1        Ομογενείς εξισώσεις διαφορών πρώτης τάξης

   Ασκήσεις

3.2.2        Εξισώσεις διαφορών της μορφής (yn+1)γ1(n) (yn)γ2(n) = f(n)

   Ασκήσεις

      3.2.3 Εξισώσεις διαφορών τύπου Riccatti

   Ασκήσεις

      3.2.4 Εξισώσεις διαφορών τύπου Bernoulli

   Ασκήσεις

      3.2.5 Εξισώσεις διαφορών τύπου Clairaut

   Ασκήσεις

      3.2.6 Μια γεωμετρική μέθοδος αντιμετώπισης εξισώσεων διαφορών πρώτης τάξης

4  Γραμμικές εξισώσεις διαφορών ανώτερης τάξης

4.1  Γενική θεωρία γραμμικών εξισώσεων διαφορών

   4.1.1 Εισαγωγή

   4.1.2 Γραμμικώς ανεξάρτητες συναρτήσεις

   4.1.3 Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις διαφορών

   Ασκήσεις

4.2  Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές

      4.2.1 Ομογενείς εξισώσεις διαφορών

   Ασκήσεις

      4.2.2 Μη ομογενείς εξισώσεις διαφορών

      4.2.2.1 Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών

      4.2.2.2 Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων

   Ασκήσεις

4.3  Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με μη σταθερούς συντελεστές

      4.3.1 Επίλυση ομογενών γραμμικών εξισώσεων διαφορών με τη μέθοδο της παραγοντοποιήσης

      4.3.2. Υποβιβασμός τάξης μιας γραμμικής εξίσωσης διαφορών

      4.3.3 Εξισώσεις διαφορών τύπου Euler

   Ασκήσεις

5  Επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με χρήση του z-μετασχηματισμού

5.1  Ο z-μετασχηματισμός και ο αντίστροφος z-μετασχηματισμός

   Ασκήσεις

5.2  Επίλυση εξισώσεων διαφορών και συστημάτων εξισώσεων διαφορών με χρήση του z-μετασχηματισμού

   Ασκήσεις

6. Προσέγγιση διαφορικών εξισώσεων από εξισώσεις διαφορών

   6.1 Εισαγωγή

   6.2 Οι έννοιες της συμβατότητας, της ευστάθειας και της σύγκλισης ενός αριθμητικού σχήματος

   6.3 Το αριθμητικό σχήμα του Euler

   6.4 Τα αριθμητικά σχήματα Runge-Kutta

      6.4.1. Το αριθμητικό σχήμα Runge-Kutta δεύτερης τάξης

      6.4.2 Το αριθμητικό σχήμα Runge-Kutta τέταρτης τάξης

   Ασκήσεις

7 Εφαρμογές των εξισώσεων διαφορών

   7.1 Υπολογισμός των τριγωνικών αριθμών

   7.2 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων

   7.3 Υπολογισμός οριζουσών

   7.4 Το πρόβλημα του πύργου του Hanoi

   7.5 Ένα πρόβλημα συνεχών δοκών

   7.6 Διάσπαση ραδιενεργών ουσιών

   7.7 Παραγωγή ερυθρών αιμοσφαιρίων

   7.8 Φαρμακολογία-Δόσεις φαρμάκων

   7.9 Αναπαραγωγή κουνελιών-Η εξίσωση διαφορών Fibonacci

   7.10 Το εθνικό εισόδημα μιας χώρας

   7.11 Διάφορα προβλήματα

Παράρτημα Α: Λογισμός Διαφορών

Α.1 Οι τελεστές Δ και Ε

Α.2 Στοιχειώδεις πράξεις με τους τελεστές διαφορών

Α.3 Παραγοντικά πολυώνυμα

Α.4 Ο τελεστής Δ-1 και ο λογισμός των αθροισμάτων

Α.5 Οι τελεστές Ñ και δ

Ασκήσεις

Παράρτημα Β: Προγράμματα σε Mathematica

Β.1 Υλοποίηση του αριθμητικού σχήματος Euler

Β.2 Υλοποίηση του αριθμητικού σχήματος Runge-Kutta δεύτερης τάξης

Β.3 Υλοποίηση του αριθμητικού σχήματος Runge-Kutta τέταρτης τάξης

Βιβλιογραφία