ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Βασικές Έννοιες - Ορισμοί

1.1 Εισαγωγή

1.2 Ταξινόμηση ολοκληρωτικών εξισώσεων

1.3 Μετατροπή γραμμικής ολοκληρωτικής εξίσωσης Volterra πρώτου είδους σε ολοκληρωτικές εξισώσεις Volterra δευτέρου είδους

1.4 Μέθοδοι επίλυσης ολοκληρωτικών εξισώσεων

2 Ποιοτική Θεωρία ολοκληρωτικών εξισώσεων που προκύπτει από την αρχή της συστολής

2.1 Εισαγωγή

2.2 Μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων για ομαλές μη γραμμικές και γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις

2.2.1 Ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Fredholm

2.2.1.1 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Fredholm στον , Ω Ì

2.2.1.2 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Fredholm σε μια σφαίρα

2.2.1.3 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Fredholm στον .

2.2.1.4 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης συστήματος ολοκληρωτικών εξισώσεων Fredholm δευτέρου είδους σ΄ ένα υποσύνολο Υ του

2.2.2 Ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Volterra

2.2.2.1 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Volterra στον C(α, β)

2.2.2.2 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Volterra στον , Ω Ì

2.2.2.3 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Volterra σε μια σφαίρα

2.2.2.4 Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης ολοκληρωτικής εξίσωσης Volterra στον L₂[α, β]

2.2.2.5 Ύπαρξη και μοναδικότητα συνεχούς λύσης συστήματος ολοκληρωτικών εξισώσεων Volterra δευτέρου είδους σ΄ ένα υποσύνολο Υ του

Ασκήσεις προς λύση

2.3 Μέθοδος επαναληπτικών πυρήνων για ομαλές γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις

2.3.1 Επαναληπτικοί πυρήνες τύπου Fredholm

2.3.2. Επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων Fredholm δευτέρου είδους με την βοήθεια των επιλυόντων πυρήνων τύπου Fredholm στον χώρο C[α, b]

2.3.3 Επαναληπτικοί πυρήνες τύπου Volterra

2.3.4 . Επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων Volterra δευτέρου είδους με την βοήθεια των επιλυόντων πυρήνων τύπου Volterra στον χώρο C[α, b]

Ασκήσεις προς λύση

3 Θεωρία Fredholm για γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις

3.1 Μέθοδος οριζουσών Fredholm - Περιγραφή της μεθόδου

3.2 Σύγκλιση των σειρών D(λ) και D(x,t;λ)

3.3 Εύχρηστοι αναδρομικοί τύποι που συνδέουν τα C_n και B_n(x,t)

3.4 Λύση της μη ομογενούς ολοκληρωτικής εξίσωσης στην περίπτωση όπου D(λ) ¹ 0

3.5 Λύση της ομογενούς ολοκληρωτικής εξίσωσης στην περίπτωση όπου D(λ) = 0

Ασκήσεις προς λύση

3.6 Χαρακτηριστικοί αριθμοί και ιδιοσυναρτήσεις

3.7 Εύρεση χαρακτηριστικών αριθμών και αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων της

Ασκήσεις προς λύση

3.8 Λύση της μη ομογενούς ολοκληρωτικής εξίσωσης στην περίπτωση όπου D(λ) = 0

4 Μη ομογενείς ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm με ειδικές μορφές πυρήνων

4.1 Μη ομογενείς γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δευτέρου είδους με διαχωριστό πυρήνα

Ασκήσεις προς λύση

4.2 Μη ομογενείς μη γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δευτέρου είδους με διαχωριστό πυρήνα ( Εξισώσεις τύπου Hammerstein )

Ασκήσεις προς λύση

4.3 Ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm με συμμετρικό πυρήνα - Θεωρία Hilbert Schmidt

Ασκήσεις προς λύση

5 Επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων με την βοήθεια ολοκληρωτικών μετασχηματισμών

5.1 Εισαγωγή

5.2 Ολοκληρωτικές εξισώσεις Volterra δευτέρου είδους τύπου συνελίξεως

5.3 Ολοκληρωτικές εξισώσεις Volterra πρώτου είδους τύπου συνελίξεως

5.4 Συστήματα ολοκληρωτικών εξισώσεων Volterra τύπου συνελίξεως

5.5 Ολοκληρο-διαφορικές εξισώσεις Volterra τύπου συνελίξεως

5.6 Μη γραμμικές ολοκληρωτικές εξισώσεις Volterra τύπου συνελίξεως

5.7 Ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δευτέρου είδους με α = -¥, β = +¥

Ασκήσεις προς λύση

6 Σύνδεση ολοκληρωτικών εξισώσεων με τις διαφορικές εξισώσεις

6.1 Το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών συνθήκων στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

6.2 Μετατροπή γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ισοδυνάμως σε εξισώσεις τύπου Volterra δευτέρου είδους

Ασκήσεις προς λύση

6.3 Μετατροπή προβλημάτων συνοριακών τιμών ισοδυνάμως σε εξισώσεις τύπου Fredholm δευτέρου είδους

Ασκήσεις προς λύση

7 Εφαρμογές των ολοκληρωτικών εξισώσεων

7.1 Εύρεση του σχήματος συγκεκριμένων καμπυλών

7.2 Εύρεση του σχήματος της εγκοπής ενός ρυθμιστικού φράγματος ποταμού

7.3 Μελέτη ενός προβλήματος μηχανικής

7.4 Μελέτη της εξέλιξης ενός πληθυσμού

7.5 Εύρεση του ρυθμού αντικατάστασης μηχανημάτων

Παράρτημα Ι : Στοιχεία μετρικών χώρων - Αρχή της συστολής

I.1 Ορισμοί και παραδείγματα

Ι.2 Σύγκλιση σε μετρικούς χώρους

Ι.3 Θεωρήματα σταθερού σημείου

Παράρτημα ΙΙ : Μετασχηματισμός Laplace

Παράρτημα IΙΙ : Μετασχηματισμός Fourier

Παράρτημα IV : Συναρτήσεις Lipschitz

Βιβλιογραφία