Θέμα 1 (μ.2) 
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x,y)=((x+y-2)/(x-y+2)) είναι συνεχής στο (0,2).
Να διατυπώσετε χωρίς απόδειξη τα θεωρήματα ώστε να ισχύει η σχέση (((∂^2)f)/(∂x ∂y))=(((∂^2)f)/(∂y ∂x))

Λύση

f[x_,y_]=((x+y-2)/(x-y+2))

Πρώτη λύση:
Θα βρούμε το όριο στο (0,2) βαδίζοντας σε δύο διαφορετικούς δρόμους 
πρώτος δρόμος  x->0 και μετά  y->2 και δεύτερος δρόμος  y->2 και μετά x->0

Βρίσκουμε

λ1=Limit[Limit[f[x,y],x->0],y->2]
λ2=Limit[Limit[f[x,y],y->2],x->0]

Τα όρια είναι διαφορετικά άρα η συνάρτηση δεν έχει όριο στο (0,2).

Παρατηρούμε ότι από το πρώτο όριο βρίσκουμε διαφορετικά αποτελέσματα. Πράγματι

λ1=Limit[f[x,y],x->0]
λ2=Limit[f[x,y],y->2]

Δεύτερη λύση:
Θα βρούμε το όριο  βαδίζοντας πάνω στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο στο (0,2). Η ευθεία αυτή έχει την εξίσωση

y=λ x+2

Καλό είναι να διαπιστώσουμε ότι η ευθεία περνάει από το σημείο (0,2)

Πράγματι

Simplify[ReplaceAll[y==λ x+2,{x->0,y->2}]]

Μια ευθεία της μορφής y=λ x περνάει από το σημείο (0,0) και όχι από το δωσμένο. Αν θεωρήσετε αυτή την ευθεία είναι λάθος.

Αντικαθιστούμε το y με το y=λ x+2 στην συνάρτηση και βρίσκουμε

lim=ReplaceAll[f[x,y],y->λ x+2]

Απλοποιούμε

lim=Simplify[ReplaceAll[f[x,y],y->λ x+2]]

Πάνω στον δρόμο αυτόν η συνάρτηση εξαρτάται από το λ και άρα έχει πολλά όρια. Για παράδειγμα για λ=-1 και λ=0

λ=-1;
lim

λ=0;
lim

Άρα δεν έχει όριο

Απάντηση β ερώτηματος. Η διατύπωση των θεωρημάτων βρίσκονται στο βιβλίο.

Θέμα 2  (μ.2) 
Να βρεθεί το σημείο του επιπέδου 
a x+b y+z=3 που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (0,0,0).Ποιά είναι η τιμή της απόστασης αυτής.
Δίνεται d=(x^2)+(y^2)+(z^2).

Λύση

Θέλουμε το ελάχιστο της συνάρτησης d=(x^2)+(y^2)+(z^2)με την δεσμευση a x+b y+z=3

f[x_,y_,z_]=(x^2)+(y^2)+(z^2)

Λύνουμε την εξίσωση του επιπέδου a x+b y+z=3 
ως προς z (θα μπορούσαμε να λύσουμε και ως προς x ή y) 
Βρίσκουμε

Solve[a x+b y+z==3,z]

Αντικαθιστούμε το z αυτό στην συνάρτηση και έχουμε

f[x_,y_]=ReplaceAll[f[x,y,z],{z->3-a x-b y}]

Η συνάρτηση αυτή είναι δύο μεταβλητών και θα βρούμε τα σημεία που έχει τοπικα ακρότατα.

Πιθανά τοπικά ακρότατα έχει η συνάρτηση στα σημείο που είναι λύσεις των εξισώσεων
((∂ f)/(∂ x))=0         ((∂ f)/(∂ y))=0

Βρίσκουμε

D[f[x,y],x]==0
D[f[x,y],y]==0

Λύνουμε το αλγεβρικό σύστημα. Τακτοποιούμε το σύστημα

Collect[{2 x-2 a (3-a x-b y)==0,2 y-2 b (3-a x-b y)==0},{x,y}]

Δηλαδή το σύστημα είναι
(2+2 (a^2)) x+2 a b y==6 a
2 a b x+(2+2 (b^2)) y==6 b

Το μαθημάτικα λύνει το σύστημα αμέσως

Solve[{(2+2 (a^2)) x+2 a b y==6 a,2 a b x+(2+2 (b^2)) y==6 b},{x,y}]

Το σύστημα μπορεί να λυθεί με την μέθοδο των οριζουσών. Η μήτρα των συντελεστών των αγνώστων είναι

MatrixForm[{{2+2 (a^2),2 a b},{2 a b,2+2 (b^2)}}]

υπολογίζυμε την ορίζουσα

Det[{{2+2 (a^2),2 a b},{2 a b,2+2 (b^2)}}]

Επωμένως

x=Simplify[Det[(({{6a, 2 a b}, {6b, 2+2 (b^2)}}))]/Det[(({{2+2 (a^2), 2 a b}, {2 a b, 2+2 (b^2)}}))]]
y=Simplify[Det[(({{2+2 (a^2), 6a}, {2 a b, 6b}}))]/Det[(({{2+2 (a^2), 2 a b}, {2 a b, 2+2 (b^2)}}))]]

Η τιμή της συνάρτησης στο σημείο αυτό είναι

fmin=f[x,y]

απλοποιούμε

fmin=Simplify[fmin]

Για να δούμε τι είδους ακρότατο παίρνει η συνάρτηση στο σημείο αυτό θα βρούμε τις δεύτερες παραγώγους,

Βρίσκουμε

Clear[x,y]
D[D[f[x,y],x],x]
D[D[f[x,y],x],y]
D[D[f[x,y],y],x]
D[D[f[x,y],y],y]

Δηλαδή

(((∂^2)f)/(∂(x^2)))=2+2 (a^2)
(((∂^2)f)/(∂x∂y))=2 a b
(((∂^2)f)/(∂y∂x))=2 a b
(((∂^2)f)/(∂(y^2)))=2+2 (b^2)

Φτιάχνουμε τον πίνακα

(({{(((∂^2)f)/(∂(x^2))), (((∂^2)f)/(∂x∂y))}, {(((∂^2)f)/(∂x∂y)), (((∂^2)f)/(∂(x^2)))}}))

m=(({{2+2 (a^2), 2 a b}, {2 a b, 2+2 (b^2)}}))

και βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα

Det[m]

Βλέπουμε ότι η ορίζουσα αυτή είναι θετική και επιπλέον (((∂^2)f)/(∂(x^2)))=2+2 (a^2) θετικό για κάθε (a,b)

Άρα η συνάρτηση γίνεται ελάχιστη στο σημείο αυτό και είναι ίση με  fmin==(9/(1+(a^2)+(b^2)))

Δεύτερη λύση Μέθοδος Λαγκράνζ (πιο περίπλοκη και δεν συνιστάται)

Σχηματίζουμε την συνάρτηση

Clear[λ]
f[x_,y_,z_,λ_]=(x^2)+(y^2)+(z^2)+λ(a x+b y+z-3)

Πρόκειται για μια συνάρτηση 4 μεταβλητών. 
Η συνάρτηση έχει πιθανά ακρότατα στα σημεία που είναι λύση του αγλεβρικού συστήματος

((∂f[x,y,z,λ])/(∂x))=((∂f[x,y,z,λ])/(∂y))=((∂f[x,y,z,λ])/(∂z))=((∂f[x,y,z,λ])/(∂λ))=0

Βρίσκουμε τις παραγωγήσεις

D[f[x,y,z,λ],x]==0
D[f[x,y,z,λ],y]==0
D[f[x,y,z,λ],z]==0
D[f[x,y,z,λ],λ]==0

Η λύση του συστήματος είναι

Solve[{2 x+a λ==0,2 y+b λ==0,2 z+λ==0,-3+a x+b y+z==0},{x,y,z,λ}]

Αντικαθειστούμε στην συνάρτηση και βρίσκουμε

fmin=Simplify[ReplaceAll[f[x,y,z,λ],{x->((3 a)/(1+(a^2)+(b^2))),y->((3 b)/(1+(a^2)+(b^2))),z->(3/(1+(a^2)+(b^2))),λ->-(6/(1+(a^2)+(b^2)))}]]

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Για να βρούμε όμως το είδος του ακρότατου θα πρέπει να φτιάζουμε κάποιες ορίζουσες με βάση την μήτρα
(({{(((∂^2)f)/(∂(x^2))), (((∂^2)f)/(∂x∂y)), (((∂^2)f)/(∂x∂z)), (((∂^2)f)/(∂x∂λ))}, {(((∂^2)f)/(∂y∂x)), (((∂^2)f)/(∂(y^2))), (((∂^2)f)/(∂y∂z)), (((∂^2)f)/(∂y∂λ))}, {(((∂^2)f)/(∂z∂x)), (((∂^2)f)/(∂z∂y)), (((∂^2)f)/(∂(z^2))), (((∂^2)f)/(∂z∂λ))}, {(((∂^2)f)/(∂λ∂y)), (((∂^2)f)/(∂λ∂y)), (((∂^2)f)/(∂λ∂z)), (((∂^2)f)/(∂(λ^2)))}}))

Βρίσκουμε

m=(({{D[D[f[x,y,z,λ],x],x]
, D[D[f[x,y,z,λ],x],y]
, D[D[f[x,y,z,λ],z],z]
, D[D[f[x,y,z,λ],x],λ]
}, {D[D[f[x,y,z,λ],y],x], D[D[f[x,y,z,λ],y],y], D[D[f[x,y,z,λ],y],z]
, D[D[f[x,y,z,λ],y],λ]
}, {D[D[f[x,y,z,λ],z],x], D[D[f[x,y,z,λ],z],y], D[D[f[x,y,z,λ],z],z]
, D[D[f[x,y,z,λ],z],λ]
}, {D[D[f[x,y,z,λ],λ],x], D[D[f[x,y,z,λ],λ],y], D[D[f[x,y,z,λ],λ],z]
, D[D[f[x,y,z,λ],λ],λ]
}}))//MatrixForm

Φτιάχνουμε τέλος τον πίνακα αφαιρόντας την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη

m=(({{2, 0, 2, a}, {0, 2, 0, b}, {0, 0, 2, 1}, {a, b, 1, 0}}))
m1=(({{2, 0, b}, {0, 2, 1}, {b, 1, 0}}))

και υπολογίζουμε τις ορίζουσες των δύο αυτών πινάκων

detm=Det[m]
detm1=Det[m1]

Η δεύτερη είναι αρνητική ενώ η πρώτη γράφεται χωρίζοντας το -4 σε -3-1

-3+Simplify[-1+4 a-4 (a^2)]-4 (b^2)

που προφανώς είναι πάλι αρνητική. Αρα έχουμε ελάχιστο στο σημείο αυτό

Αλλή λύση
Η πιο μικρή ευθεία που ενώνει το (0,0,0)με το επίπεδο είναι η κάθετος

Η κάθετος πάνω στο επίπεδο είναι το διάνυσμα gradf όπου f(x,y,z)=a x+b y+z-3=0
Βρίσκουμε gradf=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))

f[x_,y_,z_]=a x+b y+z-3;
gradf={D[f[x,y,z],x],D[f[x,y,z],y],D[f[x,y,z],z]}

Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη με αυτό το διάνυσμα είναι

((X-x0)/a)==((Y-y0)/b)==((Z-z0)/1)

Θέλω η ευθεία αυτή να περνάει από το (0,0,0) άρα

((-x0)/a)==((-y0)/b)==((-z0)/1)

και 
x0=-a z0
y0=-b z0

Αρα

((X+a z0)/a)==((Y-b z0)/b)==Z-z0

Απλοποιούμε και η ευθεία γίνεται

(X/a)==(Y/b)==Z

Θα βρούμε την τομή της ευθείας αυτής με το επίπεδο

από τις εξισώσεις (X/a)==(Y/b)==Z βρίσκουμε X==a Z και Y==β Z Άρα

Solve[a a Ζ+b b Ζ+Ζ-3==0,Ζ]

Άρα το σημείο είναι το    r=(((3 a)/(1+(a^2)+(b^2))),((3 b)/(1+(a^2)+(b^2))),(3/(1+(a^2)+(b^2))))

το μήκος του διανύσματος αυτού είναι η απόσταση του σημείου αυτού από το μηδέν και άρα το ζητούμενο ελάχιστο

fmin=Simplify[(((((3 a)/(1+(a^2)+(b^2)))))^2)+(((((3 b)/(1+(a^2)+(b^2)))))^2)+((((3/(1+(a^2)+(b^2)))))^2)]

Θέμα 3 (μ.2) 
Να αποδειξετε ότι το διάνυσμα  grad F(x,y,z) είναι κάθετο στην επιφάνεια 
F(x,y,z)==0.
Να βρείτε την εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στο σημείο (0,2,0) της επιφάνειας z=log((Sqrt[(x^2)+1]))

Λύση
παίρνουμε το διαφορικό της συνάρτησης

0=dF=((∂f)/(∂x))dx+((∂f)/(∂y))dy+((∂f)/(∂z))dz=(((∂f)/(∂x)),((∂f)/(∂y)),((∂f)/(∂z)))(dx,dy,dz)=gradF▪dr=0

Το διάνυσμα dr είναι εφαπτομενικό της επιφάνειας. Άρα το διάνυσμα gradF είναι κάθετο στην επιφάνεια , εφόσον έχει εσωτερικό γινόμενο ίσο με το μηδέν με το εφαπτομενικό

Το δεύτερο ερώτημα

Η επιφάνεια έχει την εξίσωση

F=0

όπου

F[x_,y_,z_]=Log[(Sqrt[(x^2)+1])]-z

Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια είναι το gradF

gradF={D[F[x,y,z],x],D[F[x,y,z],y],D[F[x,y,z],z]}

Στο δοσμένο σημείο γίνεται

ReplaceAll[gradF,{x->0,y->2,z->0}]

Αν (Χ,Υ,Ζ) είναι ένα τυχόν σημείο του επιπέδου τότε έχουμε την εξίσωση του επιπέδου
(Χ-x0,Υ-y0,Ζ-z0)▪gradF=0

Δηλαδή

(Χ-0,Υ-2,Ζ-0)▪{0,0,-1}=(Χ-0)0+(Υ-2) 0+(Ζ-0) (-1)=-Z=0

Δηλαδή

Z=0

που είναι η ζητούμενη εξίσωση του επιπέδου

Θέμα 4 (μ.1) Να αποδειξετε ότι η συνάρτηση
V(x,y,z)=((∫_α)^x)(Subscript[f, 1])(t,y,z)dt+((∫_β)^y)(Subscript[f, 2])(α,t,z)dt+((∫_γ)^z)(Subscript[f, 3])(α,β,t)dt

είναι λύση της εξίσωσης grad V(x,y,z)=f=((Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]))

Λύση

Ορίζουμε την συνάρτηση

V[x_,y_,z_]=(∫_α^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∫_β^y)(Subscript[f, 2])[α,t,z]\[DifferentialD]t+(∫_γ^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t

Βρίσκουμε την κλιση της συνάρτησης V δηλαδή το gradV
gradV=(((∂V)/(∂x)),((∂V)/(∂y)),((∂V)/(∂z)))

Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να ισχύει η σχέση είναι
((∂(Subscript[f, 1])(x,y,z))/(∂y))=((∂(Subscript[f, 2])(x,y,z))/(∂x))
((∂(Subscript[f, 1])(x,y,z))/(∂z))=((∂(Subscript[f, 3])(x,y,z))/(∂x))
((∂(Subscript[f, 2])(x,y,z))/(∂z))=((∂(Subscript[f, 3])(x,y,z))/(∂y))

Βρίσκουμε
(∂/(∂x))((∫_α^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∫_β^y)(Subscript[f, 2])[α,t,z]\[DifferentialD]t+(∫_γ^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t)=(∂/(∂x))(((∫_a)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t)=(Subscript[f, 1])[x,y,z]

Διότι το x βρίσκεται μόνο στο πρώτο ολοκλήρωμα και η παραγώγηση ως προς x θα μηδενίσει τα δύο τελευταία ολοκληρώματα.
Κατόπιν παραγωγίζουμε ως προς y. Το y βρίσκεται στα δύο πρώτα ολοκληρώματα ενώ το τρίτο θα μηδενισθεί. Βρίσκουμε

(∂/(∂y))((∫_α^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∫_β^y)(Subscript[f, 2])[α,t,z]\[DifferentialD]t+(∫_γ^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t)=
(∂/(∂y))(((∫_a)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_b)^y)(Subscript[f, 2])[a,t,z]\[DifferentialD]t)=(((∫_a)^x)(∂/(∂y))(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t)+(Subscript[f, 2])[a,y,z]

Η πρώτη από τις αναγκαίες σχέσεις λέει ότι η παραγώγος της (Subscript[f, 1]) ως προς το δεύτερο όρισμα είναι ίση με την παράγωγο της (Subscript[f, 2]) ως προς το πρώτο όρισμα. Δηλαδή ισχύει ((∂(Subscript[f, 1])(t,y,z))/(∂y))=((∂(Subscript[f, 2])(t,y,z))/(∂t))    Εδώ αντί για x έχουμε το t. Άρα

(((∫_a)^x)(∂/(∂y))(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t)+(Subscript[f, 2])[a,y,z]=(((∫_a)^x)(∂/(∂t))(Subscript[f, 2])[t,y,z]\[DifferentialD]t)+(Subscript[f, 2])[a,y,z]=(Subscript[f, 2])[t,y,z]((Subscript[|, α])^x)+(Subscript[f, 2])[a,y,z]=(Subscript[f, 2])[x,y,z]-(Subscript[f, 2])[α,y,z]+(Subscript[f, 2])[α,y,z]=(Subscript[f, 2])[x,y,z]

Η τελευταία παραγώγιση ως προς z θα παραγωγίση και τα τρία ολοκληρώματα. Βρίσκουμε

(∂/(∂z))((∫_α^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∫_β^y)(Subscript[f, 2])[α,t,z]\[DifferentialD]t+(∫_γ^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t)=((∫_α)^x)(∂/(∂z))(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(∂/(∂z))(Subscript[f, 2])[a,t,z]\[DifferentialD]t+(Subscript[f, 3])[α,β,z]=((∫_α)^x)(∂/(∂t))(Subscript[f, 3])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(∂/(∂t))(Subscript[f, 3])[a,t,z]\[DifferentialD]t+(Subscript[f, 3])[α,β,z]=(Subscript[f, 3])[t,y,z]((Subscript[|, α])^x)+(Subscript[f, 3])[a,t,z]((Subscript[|, β])^y)+(Subscript[f, 3])[α,β,z]=(Subscript[f, 3])[x,y,z]-(Subscript[f, 3])[α,y,z]+(Subscript[f, 3])[α,y,z]-(Subscript[f, 3])[α,β,z]+(Subscript[f, 3])[α,β,z]=(Subscript[f, 3])[x,y,z]

Όπου χρησιμοποιήσαμε τις δύο τελευταίες συνθήκες προσέχοντας την αλλαγή του x και y με το t. Εδώ δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις

((∂(Subscript[f, 1])(x,y,z))/(∂z))=((∂(Subscript[f, 3])(t,y,z))/(∂t))
((∂(Subscript[f, 2])(x,y,z))/(∂z))=((∂(Subscript[f, 3])(x,t,z))/(∂t))

Μια δεύτερη λύση είναι να ξεχάσουμε το αποτέλεσμα και να προσπαθήσουμε να λύσουμε το διαφορικό σύστημα 
((∂V)/(∂x))=(Subscript[f, 1])
((∂V)/(∂y))=(Subscript[f, 2])
((∂V)/(∂z))=(Subscript[f, 3])

Ολοκληρώνουμε την πρώτη ως προς x Βρίσκουμε

V[x,y,z]=((∫_a)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+c[y,z]

Αντικαθειστούμε στην δεύτερη

(Subscript[f, 2])[x,y,z]=(∂/(∂y))(((∫_α)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+c[y,z])=((∫_α)^x)(∂/(∂y))(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∂/(∂y))c[y,z]=((∫_α)^x)(∂/(∂t))(Subscript[f, 2])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∂/(∂y))c[y,z]=(Subscript[f, 2])[t,y,z]((Subscript[|, α])^x)+(∂/(∂y))c[y,z]=(Subscript[f, 2])[x,y,z]-(Subscript[f, 2])[α,y,z]+(∂/(∂y))c[y,z]

Επωμένως

(∂/(∂y))c[y,z]=(Subscript[f, 2])[α,y,z]

Λύνουμε την διαφορική εξίσωση και βρίσκουμε

c[y,z]=((∫_β)^y)(Subscript[f, 2])[α,y,z]+d[z]

και άρα το V[x,y,z] γίνεται

V[x,y,z]=((∫_α)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(Subscript[f, 2])[α,y,z]+d[z]

τέλος αντικαθειστούμε την σχέση αυτή στην τρίτη του διαφορικού συστήματος

(Subscript[f, 3])[x,y,z]=(∂/(∂y))(((∫_α)^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(Subscript[f, 2])[α,y,z]+d[z])=((∫_α)^x)(∂/(∂y))(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(∂/(∂y))(Subscript[f, 2])[α,y,z]+(∂/(∂y))d[z]=
((∫_a)^x)(∂/(∂t))(Subscript[f, 3])[t,y,z]\[DifferentialD]t+((∫_β)^y)(∂/(∂t))(Subscript[f, 3])[α,y,z]+(∂/(∂y))d[z]=(Subscript[f, 3])[t,y,z]((Subscript[|, a])^x)+(Subscript[f, 2])[a,t,z]((Subscript[|, b])^y)+(∂/(∂y))d[z]=(Subscript[f, 3])[x,y,z]-(Subscript[f, 3])[a,y,z]+(Subscript[f, 3])[a,y,z]-(Subscript[f, 3])[a,b,z]+(Subscript[f, 3])[a,b,z]+(∂/(∂y))d[z]=(Subscript[f, 3])[x,y,z]-(Subscript[f, 3])[a,b,z]+(∂/(∂y))d[z]

που συνεπάγεται ότι

(∂/(∂y))d[z]=(Subscript[f, 3])[α,β,z]

τέλος ολοκληρώνουμε την σχέση αυτή και βρίσκουμε

d[z]=((∫_γ)^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t+C

Άρα

V[x,y,z]=(∫_α^x)(Subscript[f, 1])[t,y,z]\[DifferentialD]t+(∫_β^y)(Subscript[f, 2])[α,t,z]\[DifferentialD]t+(∫_γ^z)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t+C

Αν προσέξετε λίγο θα δείτε ότι οι τελευταίες σχέσεις είναι οι προηγούμενες γραμμένες όμως αντίστροφα

Το πρόγραμμα μπορεί να αποδείξει την πρόταση πιο εύκολα

Χρειαζόμαστε την εντολή

Needs["VectorAnalysis`"]

Ορίζουμε την συνάρτηση

V[Xx_,Yy_,Zz_]=(∫_α^Xx)(Subscript[f, 1])[t,Yy,Zz]\[DifferentialD]t+(∫_β^Yy)(Subscript[f, 2])[α,t,Zz]\[DifferentialD]t+(∫_γ^Zz)(Subscript[f, 3])[α,β,t]\[DifferentialD]t

f[Xx_,Yy_,Zz_]:={(Subscript[f, 1])[Xx,Yy,Zz],(Subscript[f, 2])[Xx,Yy,Zz],(Subscript[f, 3])[Xx,Yy,Zz]}

Το σύμβολο : που υπάρχει πριν το ίσον μπαίνει για να μην τυπωθεί το αποτέλεσμα της πράξης

Γράφουμε την αναγκαία συνθήκη

Curl[f[Xx,Yy,Zz]]

το διάνυσμα αυτό πρέπει να είναι μηδέν Δηλαδή

Derivative[0,0,1][(Subscript[f, 2])][Xx,Yy,Zz]=Derivative[0,1,0][(Subscript[f, 3])][Xx,Yy,Zz]
Derivative[0,0,1][(Subscript[f, 1])][Xx,Yy,Zz]=Derivative[1,0,0][(Subscript[f, 3])][Xx,Yy,Zz]
Derivative[0,1,0][(Subscript[f, 1])][Xx,Yy,Zz]=Derivative[1,0,0][(Subscript[f, 2])][Xx,Yy,Zz]

Υπολογίζουμε της βάθμωση

Grad[ V[Xx,Yy,Zz]]

προφανώς πρέπει να αλλάξουμε κατάλληλα τα ορίσματα των συναρτήσεων με το t Γράφουμε

Derivative[0,0,1][(Subscript[f, 2])][α,t,Zz]=Derivative[0,1,0][(Subscript[f, 3])][α,t,Zz]
Derivative[0,0,1][(Subscript[f, 1])][t,Yy,Zz]=Derivative[1,0,0][(Subscript[f, 3])][t,Yy,Zz]
Derivative[0,1,0][(Subscript[f, 1])][t,Yy,Zz]=Derivative[1,0,0][(Subscript[f, 2])][t,Yy,Zz]

και βρίσκουμε

Grad[ V[Xx,Yy,Zz]]

Θέμα 5 (μ.2) 
Να βρείτε την απόκλιση ∇·f και τον στροβιλισμό ∇×f του διανυσματικού πεδίου 
f=(r^(2n)) r. Για ποιά τιμή του n η απόκλιση και ο στροβιλισμός είναι μηδέν. r=(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)]).

Λύση

Το f είναι το διάνυσμα f=(r^(2n)) r=((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)(x,y,z)=(((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)x,((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)y,((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)z)

Το διάνυσμα δηλαδή έχει συνιστώσες

(Subscript[f, 1])=((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)x
(Subscript[f, 2])=((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)y
(Subscript[f, 3])=((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)z

Βρίσκουμε την μερική παράγωγο του  (r^(2n)) ως προς x

D[((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n),x]

Δηλαδή
((∂(r^(2 n)))/(∂x))=2 n x ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))

Βρίκουμε τις παραγωγίσεις ως προς y και z Λόγω συμμετρίας έχουμε

((∂(r^(2 n)))/(∂y))=2 n y ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))
((∂(r^(2 n)))/(∂z))=2 n z ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))

Υπολογίζουμε τώρα της απόκλιση της δοσμένης συνάρτησης

Div f=((∂(Subscript[f, 1]))/(∂x))+((∂(Subscript[f, 2]))/(∂y))+((∂(Subscript[f, 3]))/(∂z))=(∂/(∂x))(((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)x)+(∂/(∂y))(((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)y)+(∂/(∂z))(((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)z)=x(∂/(∂x))((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)(∂/(∂x))x+y(∂/(∂y))((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)(∂/(∂y))y+z(∂/(∂z))((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)(∂/(∂z))z=
x  n  ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2x+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+y  n ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2y+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+z  n  ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2z+((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)=
2 n (x^2) ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))+2 n (y^2) ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))+2 n (z^2) ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))+3((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)=
2 n((x^2)+(y^2)+(z^2)) ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))+3((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)=2 n((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)+3((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)=(2 n+3)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)

Άρα τελικά η απόκλιση είναι

div f=(2 n+3)(r^(2n))

Επωμένως η απόκλιση γίνεται μηδέν αν

2 n+3=0

Solve[2 n+3==0,n]

Για  n=-(3/2) η απόκλιση γίνεται μηδέν και η συνάρτηση f=(r/(r^3))

Υπολογίζουμε τώρα τον στροβιλισμό της συνάρτησης

Ο στροβιλισμός δίνεται τυπικά από τη ορίζουσα του πίνακα

m=(({{i, j, k}, {(∂_x), (∂_y), (∂_z)}, {(Subscript[f, 1]), (Subscript[f, 2]), (Subscript[f, 3])}}))=((∂_y)(Subscript[f, 3])-(∂_z)(Subscript[f, 2]))i-((∂_x)(Subscript[f, 3])-(∂_z)(Subscript[f, 1]))j+((∂_x)(Subscript[f, 2])-(∂_y)(Subscript[f, 1]))k=

Υπολογίζουμε χωριστά τις συνιστώσες βρίσκουμε

(∂_y)(Subscript[f, 3])-(∂_z)(Subscript[f, 2])=(∂_y)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)z-(∂_z)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)y=n ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 y z-n ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 z y=0
(∂_x)(Subscript[f, 3])-(∂_z)(Subscript[f, 1])=(∂_x)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)z-(∂_z)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)x=n((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 x z-n ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 z x=0
(∂_x)(Subscript[f, 2])-(∂_y)(Subscript[f, 1])=(∂_x)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)y-(∂_y)((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^n)x=n((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 x y-n ((((x^2)+(y^2)+(z^2)))^(-1+n))2 y x=0

Δηλαδή ο στροβιλισμός του διανύσματος είναι μηδέν για κάθε τιμή του n

Το πρόγραμμα υπολογίζει αμέσως την απόκλιση Div και τον στροβιλισμό rot=Curl των διανυσμάτων

Χρειαζόμαστε πρώτα την εντολή

Needs["VectorAnalysis`"]

και γράφουμε τα x, y, z, στην μορφή Xx,Yy,Zz

f:={((((Xx^2)+(Yy^2)+(Zz^2)))^n)Xx,((((Xx^2)+(Yy^2)+(Zz^2)))^n)Yy,((((Xx^2)+(Yy^2)+(Zz^2)))^n)Zz}

Βρίσκουμε

Simplify[Div[f]]

Solve[Div[f]==0,n]

Curl[f]

Θέμα 6 (μ.2) 
Δίνονται οι παραβολικές συντεταγμένες
x=u v cos(φ)
y=u v sin(φ)
z=(1/2)((u^2)-(v^2))
όπου u,v>0   και     0≤ϕ≤2π.  
Να βρεθεί η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού και οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί.
Να βρεθούν οι συντεταγμένες καμπύλες και να αποδειχθεί ότι τέμνονται καθέτως

Λύση

x[u_,v_,φ_]=u v Cos[φ]
y[u_,v_,φ_]=u v Sin[φ]
z[u_,v_,φ_]=(1/2)((u^2)-(v^2))

Η Ιακοβιανή του μετασχηματισμού είναι η ορίζουσα του πίνακα

m=(({{((∂x)/(∂u)), ((∂x)/(∂v)), ((∂x)/(∂φ))}, {((∂y)/(∂u)), ((∂y)/(∂v)), ((∂y)/(∂φ))}, {((∂z)/(∂u)), ((∂z)/(∂v)), ((∂z)/(∂φ))}}))

Υπολογίζουμε τις παραγωγήσεις

D[x[u,v,φ],u]

D[x[u,v,φ],v]

D[x[u,v,φ],φ]

D[y[u,v,φ],u]

D[y[u,v,φ],v]

D[y[u,v,φ],φ]

D[z[u,v,φ],u]

D[z[u,v,φ],v]

D[z[u,v,φ],φ]

και φτιάχνουμε τον πίνακα

m=(({{D[x[u,v,φ],u], D[x[u,v,φ],v], D[x[u,v,φ],φ]}, {D[y[u,v,φ],u], D[y[u,v,φ],v], D[y[u,v,φ],φ]}, {D[z[u,v,φ],u], D[z[u,v,φ],v], D[z[u,v,φ],φ]}}))//MatrixForm

m=(({{v Cos[φ], u Cos[φ], -u v Sin[φ]}, {v Sin[φ], u Sin[φ], u v Cos[φ]}, {u, -v, 0}}))

και βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα αυτού (To mathimatica δεν βρίσκει την ορίζουσα αν ο πίνακα είναι γραμμένος σε MatrixForm)

ιακοβιανή=Det[m]

Απλοποιούμε

ιακοβιανή=Simplify[Det[m]]

Η ιακοβιανή είναι πάντα θετική για κάθε u v διαφορετικά από το μηδέν

Θα λύσουμε ανάποδα τους μετασχηματισμούς Το mathimatica δίνει αμέσως την λύση

FullSimplify[Solve[{x==u v Cos[φ],y==u v Sin[φ],z==(1/2)((u^2)-(v^2))},{u,v,φ}]]

Διαλέχτε και πάρτε

Θα βρούμε τις λύσεις αναλυτικά

Διαιρούμε τις δύο πρώτες

((y[u,v,φ])/(x[u,v,φ]))

και λύνουμε ως προς φ

Solve[(y/x)==Tan[φ],φ]

Βρήκαμε το φ Κατόπιν

Προσθέτουμε τις δύο πρώτες αφού τις υψώσουμε στο τετράγωνο Βρίσκουμε

(x^2)==(u^2) (v^2) (Cos^2)[φ]
(y^2)==(u^2) (v^2) (Sin^2)[φ]

Τις προσθέτουμε

(x^2)+(y^2)==(u^2) (v^2) (Cos^2)[φ]+(u^2) (v^2) (Sin^2)[φ]=(u^2) (v^2)

Γράφουμε τώρα τις εξισώσεις

(x^2)+(y^2)==(u^2) (v^2)
z==(1/2) ((u^2)-(v^2))

Το mathimatica τις λύνει αμέσως Βρίσκουμε

Solve[{(x^2)+(y^2)==(u^2) (v^2),z==(1/2) ((u^2)-(v^2))},{u,v}]

Αναλυτικά λύνουμε την δεύτερη ως προς (u^2)

(u^2)=2z+(v^2)

Το αντικαθειστούμε στην πρώτη

(x^2)+(y^2)==(2z+(v^2)) (v^2)==2z (v^2)+(v^4)

και έχουμε μία εξίσωση που περιέχει μόνο το v

(v^4) +2z (v^2)-((x^2)+(y^2))==0

και την λύνουμε

Solve[(v^4) +2z (v^2)-((x^2)+(y^2))==0,v]

Είναι μια αλγεβρική εξίσωση δευτέρου βαθμού ως προς (v^2)

Ομοια εργαζόμαστε για να βρούμε το u  Βρίσκουμε

(v^2)==(u^2)-2z

(x^2)+(y^2)==(u^2) ((u^2)-2z)=(u^4)-2z (u^2)

Δηλαδή

(u^4)-2z (u^2)-((x^2)+(y^2))==0

αλγεβρική ως προς u και η λύση είναι

Solve[(u^4)-2z (u^2)-((x^2)+(y^2))==0,u]

(Προσοχή βάζουμε διπλό ίσον ==  μέσα στης εντολές του mathimatica)

Μαζεύουμε τις θετικές λύσεις

u=(Sqrt[z+(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])])
v=(Sqrt[-z+(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])])
φ=ArcTan[(y/x)]

Για να βεβαιωθούμε ότι είναι σωστό κάνουμε την επαλλήθευση και λύνουμε το σύστημα ανάποδα

Clear[u,v,φ]
PowerExpand[FullSimplify[Solve[{u==(Sqrt[z+(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])]),v==(Sqrt[-z+(Sqrt[(x^2)+(y^2)+(z^2)])]),φ==ArcTan[(y/x)]},{x,y,z}]]]

Για μα βρούμε τις συνεταγμένες καμπύλες γράφουμε το διάνυσμα r στις καινούργιες παραβολικές συντεταγμένες

r=(x,y,z)=(u v cos(φ),u v sin(φ),(1/2)((u^2)-(v^2)))

Οι συντεταγμένες καμπύλες είναι εκείνες που προκύπτει αν διατηρήσουμε σταθερές τις δύο παραβολικές μεταβλητές και αφήσουμε να μεταβάλεται μόνο η τρίτη. Βρίσκουμε

Πρώτη συντεταγμένη καμπύλη Θέτουμε u=(Subscript[c, 1]) και v=(Subscript[c, 2])

r(φ)=((Subscript[c, 1])(Subscript[c, 2]) cos(φ),(Subscript[c, 1])(Subscript[c, 2])  sin(φ),(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-((Subscript[c, 2])^2)))=((Subscript[c, 3])cos(ϕ),(Subscript[c, 3])sin(ϕ),(Subscript[c, 5]))

Η καμπύλη αυτή είναι η περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας (Subscript[c, 1])(Subscript[c, 2])=(Subscript[c, 3]) πάνω στο επίπεδο που τέμνει τον ΟΖ άξονα στο σημείο
z=(Subscript[c, 5])=(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-((Subscript[c, 2])^2))

Δεύτερη συντεταγμένη καμπύλη, Θέτουμε v=(Subscript[c, 1]) και φ=(Subscript[c, 2])

r(u)=((Subscript[c, 1])u cos((Subscript[c, 2])),(Subscript[c, 1])u  sin((Subscript[c, 2])),(1/2)((u^2)-((Subscript[c, 1])^2)))=((Subscript[c, 3])u,(Subscript[c, 4])u,,(1/2)((u^2)-((Subscript[c, 1])^2)))

Η καμπύλη αυτή είναι μια παραβολή πάνω στο επίπεδο (Subscript[c, 4])x=(Subscript[c, 3])y =(Subscript[c, 3])(Subscript[c, 4])u  
το επίπεδο αυτό περιέχει τον άξονα ΟΖ 
Είναι η τομή του επιπέδου αυτού με την κυλινδρική επιφάνεια με προβολή

z=(1/2)(((x^2)/((Subscript[c, 3])^2))-((Subscript[c, 1])^2)) στο επίπεδο ΧΟΖ ή  z=(1/2)(((y^2)/((Subscript[c, 4])^2))-((Subscript[c, 1])^2)) στο επίπεδο YΟΖ
Αν τα (Subscript[c, 3]) και (Subscript[c, 4])είναι θετικά οι παραβολές στρέφονται προς τα επάνω στα θετικά του ΟΖ άξονα

Τρίτη συντεταγμένη καμπύλη, Θέτουμε u=(Subscript[c, 1]) και φ=(Subscript[c, 2])

r(v)=((Subscript[c, 1])v cos((Subscript[c, 2])),(Subscript[c, 1])v  sin((Subscript[c, 2])),(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-(v^2)))=((Subscript[c, 3])v,(Subscript[c, 4])v,(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-(v^2)))

Πρόκειται για μια παρόμοια παραβολή 
τομή  του επίπεδο (Subscript[c, 4])x=(Subscript[c, 3])y =(Subscript[c, 3])(Subscript[c, 4])u με την κυλινδρική επιφάνεια με προβολή
z=(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-((x^2)/((Subscript[c, 3])^2))) στο επίπεδο ΧΟΖ ή  z=(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-((y^2)/((Subscript[c, 4])^2))) στο επίπεδο YΟΖ
Αν τα (Subscript[c, 3]) και (Subscript[c, 4])είναι θετικά εδώ οι παραβολές στρέφονται προς τα κάτω στα αρνητικά του ΟΖ άξονα αντίθετα από τις προηγούμενες

Θα αποδείξουμε τώρα ότι τέμνονται καθέτως

Η εφαπτομένη της πρώτης καμπύλης είναι το διάνυσμα 
a=(∂/(∂φ))r=(((∂x)/(∂φ)),((∂y)/(∂φ)),((∂z)/(∂φ))) της δεύτερης b=(∂/(∂u))r=(((∂x)/(∂u)),((∂y)/(∂u)),((∂z)/(∂u))) και της τρίτης c=(∂/(∂v))r=(((∂x)/(∂v)),((∂y)/(∂v)),((∂z)/(∂v))) Βρίσκουμε

a={D[x[u,v,φ],φ],D[y[u,v,φ],φ],D[z[u,v,φ],φ]}
b={D[x[u,v,φ],u],D[y[u,v,φ],u],D[z[u,v,φ],u]}
c={D[x[u,v,φ],v],D[y[u,v,φ],v],D[z[u,v,φ],v]}

Βρίσκουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων αυτών

Dot[a,b]
Dot[b,c]
Dot[c,a]

Dot[a,b]
Simplify[Dot[b,c]]
Dot[c,a]

Τα εσωτερικά γινόμενα είναι μηδενικά άρα οι καμπύλες (δηλαδή οι εφαπτομένες τους)τέμνονται κάθετα

To mathimatica υπολογίζει την Ιακοβιανή

Χρειαζόμαστε την εντολή

Needs["VectorAnalysis`"]

Θέτουμε τις συνεταγμένες

SetCoordinates[Paraboloidal]

Paraboloidal[Uu,Vv,Pphi]

Την μεταβολή των συντεταγμένων

CoordinateRanges[]

Βρίσκουμε την Ιακοβιανή

JacobianDeterminant[Paraboloidal]

(Subscript[c, 1])=11;
(Subscript[c, 2])=3;
(Subscript[c, 3])=1;
(Subscript[c, 4])=-5;
(Subscript[c, 5])=-500;
d=34;

Σχεδιάζουμε την πρώτη χαρακτηριστική καμπύλη τομή σφαίρας με επίπεδο

Show[{Plot3D[{(x^2)+(y^2)-((Subscript[c, 3])^2)},{x,-d,d},{y,-d,d}],Plot3D[z-(Subscript[c, 5]),{z,-d,d},{x,-d,d}]}]

την δεύτερη που είναι τομή κυλινδρικής επιφάνειας με επίπεδο

Show[{Plot3D[{z-(1/2)(((x^2)/((Subscript[c, 3])^2))-((Subscript[c, 1])^2))},{x,-d,d},{z,-d,d}],
Plot3D[(Subscript[c, 3]) x-(Subscript[c, 4]) y,{x,-d,d},{y,-d,d}]}]

και την τρίτη από τις χαρακτηριστικές καμπύλες που είναι επίσης τομή κυλινδρικής επιφάνειας με επίπεδο

Show[{Plot3D[{z-(1/2)(((Subscript[c, 1])^2)-((x^2)/((Subscript[c, 3])^2)))},{x,-d,d},{z,-d,d}],
Plot3D[(Subscript[c, 3]) x-(Subscript[c, 4]) y,{x,-d,d},{y,-d,d}]}]

Με την βοήθεια του ποντικιού μπορούμε να περιστρέψουμε τα σχήματα

Στα΄σχήματα φαίνονται οι συντεταγμένες επιφάνειες που τέμνονται στις συντεταγμένες καμπύλες