θέμα 1

α) Το θέμα ζητάει να αποδειχθεί το Θεώρημα (Young).  L.Brand 228 - 9

b) Παράδειγμα 2 L.Brand 230

f[x_,y_]=(x^2) ArcTan[(y/x)]-(y^2) ArcTan[(x/y)]

fx=D[f[x,y],x]
fy=D[f[x,y],y]

fx=Simplify[fx]
fy=Simplify[fy]

fxy=D[fx,y]
fyx=D[fy,x]

Together[fxy]
Together[fyx]

άρα fxy = fyx για κάθε x, y εκτός από το (0, 0) όπου έχουμε

Limit[Limit[(((x^2)-(y^2))/((x^2)+(y^2))),x->0],y->0]
Limit[Limit[(((x^2)-(y^2))/((x^2)+(y^2))),y->0],x->0]

Άρα fxy είναι διάφορο του fyx στο μηδέν διότι η συνάρτηση fxy δεν είναι συνεχής

Θέμα 2

F[x_,y_]=(E^(Sin[x]+Sin[y]))

taylor=Series[F[x,y],{x,0,3},{y,0,3}]

Δηλαδή

taylor=Simplify[1+y+((y^2)/2)+(1+y+((y^2)/2))x+((1/2)+(y/2)+((y^2)/4))(x^2)]

Άλλος τρόπος

F[x_,y_]=(E^(Sin[x]+Sin[y]))==(E^(Sin[x]))(E^(Sin[y]))

Ανάπτυξη του πρώτου εκθετικού

f[x_]=(E^(Sin[x]))

f0=ReplaceAll[f[x],x->0]
fx=ReplaceAll[D[f[x],x],x->0]
fxx=ReplaceAll[D[D[f[x],x],x],x->0]
fxxx=ReplaceAll[D[D[D[f[x],x],x],x],x->0]

taylor1=f0+fx x+(1/2)fxx (x^2)+(1/(3 2))fxxx (x^3)

Άρα

(E^(Sin[x]+Sin[y]))==(E^(Sin[x]))(E^(Sin[y]))==Series[(E^(Sin[x])),{x,0,3}]**Series[(E^(Sin[y])),{y,0,3}]

Θέμα 3 
όμοιο θέμα στο βιβλίο Παπαντωνίου σελίδα 264
Η άσκηση ζητάει να βρεθεί το μέγιστο της συνάρτησης

V[x_,y_,z_]=8x y z

με την συνθήκη

φ=((x^2)/(α^2))+((y^2)/(β^2))+((z^2)/(γ^2))-1==0

Πολλαπλασιαστές Lagrange

g[x_,y_,z_,λ_]=8x y z+λ(((x^2)/(α^2))+((y^2)/(β^2))+((z^2)/(γ^2))-1)

gx=D[g[x,y,z,λ],x]
gy=D[g[x,y,z,λ],y]
gz=D[g[x,y,z,λ],z]
gλ=D[g[x,y,z,λ],λ]

Το ακρότατο είναι η λύση του συστήματος gx=gy=gz=gλ=0

Πολαπλασιάζουμε την πρώτη με το x την δεύτερη με το y και 

την τρίτη με το z και τις προσθέτουμε

Collect[x gx+y gy+z gz,λ,Simplify]

αντικαθιστούμε από την συνθήκη και λύνουμε ως προς λ. Βρίσκουμε

ReplaceAll[Collect[x gx+y gy+z gz,λ,Simplify],((x^2)/(α^2))+((y^2)/(β^2))+((z^2)/(γ^2))->1]
Solve[24 x y z+2 λ==0,λ]

άρα

λ=-12 x y z

Τέλος βρίσκουμε διαδοχικά

Solve[gx==0,x]
Solve[gy==0,y]
Solve[gz==0,z]

για να δούμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο σχηματίζουμε την ορίζουσα του πίνακα

(({{φxx, φxy, φxz, gx}, {φxx, φxy, φxz, gy}, {φxx, φxy, φxz, gz}, {gx, gy, gz, 0}}))

Θέμα 4

F[x_,y_,z_]={x+2y+λ z,μ x-3y-z,4x+ν y+2 z}

f1=x+2 y+z λ
f2=-3 y-z+x μ
f3=4 x+2 z+y ν

α) Ερώτημα. Για να είναι αστρόβιλο πρέπει ∇xF = 0 δηλαδή

D[f2,x]==D[f1,y]
D[f1,z]==D[f3,x]
D[f3,y]==D[f2,z]

Άρα η συνάρτηση γίνεται

μ=2;
λ=4;
ν=-1;
F[x_,y_,z_]={x+2y+λ z,μ x-3y-z,4x+ν y+2 z}

F1=x+2 y+4 z
F2=2 x-3 y-z
F3=4 x-y+2 z

β) Ερώτημα. Το δυναμικό ικανοποιεί τις εξισώσεις

Vx[x_,y_,z_]=x+2 y+4 z
Vy[x_,y_,z_]=2 x-3 y-z
Vz[x_,y_,z_]=4 x-y+2 z

Ολοκληρώνω την πρώτη ως προς x

Integrate[Vx[x,y,z],x]

Άρα

V=((x^2)/2)+2 x y+4 x z+c[y,z]

Παραγωγίζω ως προς y

D[V,y]

εξισώνω με την δεύτερη

Simplify[2 x+Derivative[1,0][c][y,z]==2 x-3 y-z]

Derivative[1,0][c][y,z]=-3 y-z

Ολοκληρώνω ως προς y

Integrate[-3 y-z,y]

Άρα

V=((x^2)/2)+2 x y+4 x z-((3 (y^2))/2)-y z+d[z]

Θετω την λύση στην τρίτη

Simplify[D[V,z]==x-y+2 z]

Άρα

d'[z]==-3 x+2 z

Ολοκληρώνω ως προς z

Integrate[-3 x+2 z,z]

Τέλος

V=((x^2)/2)+2 x y+4 x z-((3 (y^2))/2)-y z-3 x z+(z^2)+c

γ) Ερώτημα. Άρα το ερώτημα ζητάει να υπολογισθεί το διάνυσμα

(Subscript[(F x ∇), 1])V->(F2(∂_z)-F3(∂_y))V
(Subscript[(F x ∇), 2])V->(F3(∂_x)-F1(∂_z))V
(Subscript[(F x ∇), 3])V->(F1(∂_y)-F2(∂_x))V

Βρίσκουμε

Simplify[F2(∂_z)V-F3(∂_y)V]
Simplify[F3(∂_x)V-F1(∂_z)V]
Simplify[F1(∂_y)V-F2(∂_x)V]

θέμα 5

u[x_,y_]=(x/((x^2)+(y^2)))
v[x_,y_]=(y/((x^2)+(y^2)))

α) Ερώτημα. Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι η ορίζουσα J. Βρίσκουμε

a=(({{(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y])}, {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y])}}))

J=Det[a]

(Subscript[u, x])=Simplify[D[u[x,y],x]]
(Subscript[u, y])=Simplify[D[u[x,y],y]]
(Subscript[v, x])=Simplify[D[v[x,y],x]]
(Subscript[v, y])=Simplify[D[v[x,y],y]]

J=Simplify[J]

β) Ερώτημα. Να λυθούν οι εξισώσεις ως προς x και y.

ttt=Solve[{u[x,y]==u,v[x,y]==v},{x,y}]

γ) Ερώτημα. Κύκλος επιπέδου x, y

(x^2)+(y^2)->Simplify[ReplaceAll[(x^2)+(y^2),ttt]]

Δηλαδή η μια περιφέρεια είναι αντίστροφη της άλλης