Θεμα (1^ο)

Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
I=((∫_(Subscript[r, 1]))^(Subscript[r, 2]))((-y (Overscript[i, ->])+x (Overscript[j, ->]))/((x^2)+(y^2))).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])
στην περιφέρεια (x^2)+(y^2)==9 όπου (Subscript[r, 1])=(3,0),(Subscript[r, 2])=(0,3).

Λύση

Το σημείο (0,0) που η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια, δεν είναι σημείο της περιφέρειας και το ολοκλήρωμα δεν είναι κλειστό.

Κάνουμε τους μετασχηματισμούς

x=3 Cos[θ]
y=3 Sin[θ]

Επωμένως

\[DifferentialD]x=D[3 Cos[θ],θ]\[DifferentialD]θ
\[DifferentialD]y=D[3 Sin[θ],θ]\[DifferentialD]θ

Η συνάρτηση γίνεται

f==Simplify[{((-y)/((x^2)+(y^2))),(x/((x^2)+(y^2)))}]

Αρα

f.dr==Simplify[{-((Sin[θ])/3),((Cos[θ])/3)}.{-3 \[DifferentialD]θ Sin[θ],3 Cos[θ] \[DifferentialD]θ}]

Βρίσκουμε την τιμή του θ που αντιστοιχεί στα σημεία (Subscript[r, 1]) και (Subscript[r, 2])

Solve[{x==3,y==0},θ]
Solve[{x==0,y==3},θ]

Υπολογίζουμε τέλος το ολοκλήρωμα

I==((∫_(Subscript[r, 1]))^(Subscript[r, 2]))(Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])==((∫_(0))^(π/2)) (Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])==((∫_(0))^(π/2)) \[DifferentialD]θ==θ((Subscript[|, 0])^(π/2))=(π/2)

Integrate[1,{θ,0,(π/2)}]

Θέμα (2^ο)

Η απάντηση για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, βρίσκεται στα βιβλία του μαθήματος.

Θέμα (3^ο)

Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα
Ι=∫(∫_S)((\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y)/((((x+y))^2)(((x-y))^2)))
S είναι το τρίγωνο ABG με κορυφές τα σημεία A(1,0),B(2,1),G(4,0).

Λύση

Κάνουμε τους μετασχηματισμούς

x+y=u
x-y=v

Αντιστρόφως

Solve[{x+y==u,x-y==v},{x,y}]

x=((u+v)/2)
y=((u-v)/2)

Αρα το διάνυσμα είναι

r[x,y]={((u+v)/2),((u-v)/2)}

Οι εφαπτομένες των χαρακτηριστικών καμπύλων είναι

D[r[x,y],u]
D[r[x,y],v]

και το εσωτερικό γινόμενο είναι

D[r[x,y],u].D[r[x,y],v]

και άρα τέμνονται καθέτως

Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι

aa={{(1/2),(1/2)},{(1/2),-(1/2)}};
{{(1/2),(1/2)},{(1/2),-(1/2)}}//MatrixForm

Det[aa]

Αρα      dx dy=-(1/2)du dv

Τα σημεία που δόθηκαν είναι τα

A={1,0}
B={2,1}
G={4,0}

και επειδή

u=x+y
v=x-y

Τα σημεία αυτά στις καινούργιες συντεταγμένες είναι

ua=1+0
va=1-0
ub=2+1
vb=2-1
ug=4+0
vg=4-0

Δηλαδή

A={1,1}
B={3,1}
G={4,4}

Για να βρούμε τις ευθείες που ενώνουν αυτά τα σημεία υποθέτουμε ότι είναι

a u+b v=1

και λύνουμε τα συστήματα

Solve[{a 1+b 1==1,a 3+b 1==1},{a,b}]
Solve[{a 3+b 1==1,a 4+b 4==1},{a,b}]
Solve[{a 4+b 4==1,a 1+b 1==1},{a,b}]

Το τρίτο σύστημα δεν έχει λύση διότι u=v. Άρα οι τρείς ευθείες είναι

v=1
3u-v=8
u=v

Σχεδιάζουμε την περιοχή

a=Plot[{1,x,3x-8},{x,1,4.1},PlotRange->{0,4},AxesLabel->{U,V}]

Αν διαλέξουμε να κάνουμε τις ολοκληρώσεις πρώτα ως προς v και μετα ως προς u θα πρέπει να κόψουμε την περιοχή με την ευθεία στο σημείο 
u=3 και να αθροίσουμε τα δύο ολοκληρώματα Δηλαδή

Integrate[Integrate[f[x],x],x]

Ι=(1/2)(((∫_1)^3)(((∫_1)^u)(1/((u^2)(v^2)))\[DifferentialD]v)\[DifferentialD]u+((∫_3)^4)(((∫_(3u-8))^u)(1/((u^2)(v^2)))\[DifferentialD]v)\[DifferentialD]u)

Ο υπολογιστής δίνει

Simplify[(1/2)(Integrate[Integrate[(1/((u^2)(v^2))),{v,1,u}],{u,1,3}]+Integrate[Integrate[(1/((u^2)(v^2))),{v,3u-8,u}],{u,3,4}])]

Καλύτερα όμως να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς u και μετά ως προς v γιατί ;έτσι δεν χρειάζεται να κόψουμε την περιοχή ολοκλήρωσης Δηλαδή

Ι=-(1/2)((∫_1)^4)(((∫_1)^u)(1/((u^2)(v^2)))\[DifferentialD]u)\[DifferentialD]v

Ο υπολογιστής δίνει φυσικά το ίδιο αποτέλεσμα

Simplify[(1/2)(Integrate[Integrate[(1/((u^2)(v^2))),{u,v,((8+v)/3)}],{v,1,4}])]

Άρα το αποτέλεσμα είναι
Ι=(3/128) (4+Log[3])

Αν δεν σκεφτούμε να κάνουμε τους μετασχηματισμούς για να βρούμε το ολοκλήρωμα πρέπει να αναλύσουμε την συνάρτηση σε απλά κλάσματα της μορφής

Αν ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς y πρέπει να γίνει η ανάλυση

Clear[x,y]
SolveAlways[(1/((((x^2)-(y^2)))^2))==(P/((x-y)))+(Q/(((x-y))^2))+(R/((x+y)))+(S/(((x+y))^2)),y]

Αν ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x πρέπει να γίνει η ανάλυση

SolveAlways[(1/((((x^2)-(y^2)))^2))==(P/((x-y)))+(Q/(((x-y))^2))+(R/((x+y)))+(S/(((x+y))^2)),x]

Οι ευθείες που ενώνουν τα σημεία είναι

a x+b y=1

Clear[a,b]
Solve[{a 1+b 0==1,a 2+b 1==1},{a,b}]
Solve[{a 2+b 1==1,a 4+b 0==1},{a,b}]

Δηλαδή οι ευθείες είναι

x-y==1
x+2y==4

a=Plot[{x-1,((4-x)/2)},{x,1,4.1},PlotRange->{0,4},AxesLabel->{X,Y}]

Αν κάνουμε την ολοκλήρωση πρώτα ως προς x και μετά ως προς y πρέπει να κόψουμε την περιοχή ολοκλήρωσεως σε δυό κομάτια με την ευθεία 
x=2. Βρίσκουμε

Simplify[PowerExpand[Integrate[Integrate[(1/((((x^2)-(y^2)))^2)),{y,0,x-1}],{x,1,2}]+Integrate[Integrate[(1/((((x^2)-(y^2)))^2)),{y,0,((4-x)/2)}],{x,2,4}]]]

Αν κάνουμε την ολοκλήρωση πρώτα ως προς y και μετά ως προς x δεν χρειάζεται να κόψουμε την περιοχή ολοκλήρωσεως σε κομάτια. Εργαζόμαστε ως εξής

Αναλύουμε το κλάσμα

SolveAlways[(1/((((x^2)-(y^2)))^2))==(P/((x-y)))+(Q/(((x-y))^2))+(R/((x+y)))+(S/(((x+y))^2)),x]

Επομένως έχουμε

(1/((((x^2)-(y^2)))^2))==((-(1/(4 (y^3))))/((x-y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x-y))^2))+((1/(4 (y^3)))/((x+y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x+y))^2))

Πραγματικά

Simplify[(1/((((x^2)-(y^2)))^2))==((-(1/(4 (y^3))))/((x-y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x-y))^2))+((1/(4 (y^3)))/((x+y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x+y))^2))]

Ολοκληρώνουμε ως προς y

Simplify[ReplaceAll[Integrate[((-(1/(4 (y^3))))/((x-y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x-y))^2))+((1/(4 (y^3)))/((x+y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x+y))^2)),x],x->4-2y]-ReplaceAll[Integrate[((-(1/(4 (y^3))))/((x-y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x-y))^2))+((1/(4 (y^3)))/((x+y)))+((1/(4 (y^2)))/(((x+y))^2)),x],x->1+y]]

Τέλος ολοκληρώνουμε ως προς y Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι

Integrate[((((2 y (1+y))/(1+2 y))+((4 (-2+y) y)/(16-16 y+3 (y^2)))-Log[4-3 y]+Log[4-y]-Log[1+2 y])/(4 (y^3))),y]

και στα όρια βρίσκουμε

Simplify[Limit[(1/4) (-(3/(4 y))-(3/32) Log[4-3 y]+((Log[4-3 y])/(2 (y^2)))+(3/32) Log[4-y]-((Log[4-y])/(2 (y^2)))+((Log[1+2 y])/(2 (y^2)))),y->1]-Limit[(1/4) (-(3/(4 y))-(3/32) Log[4-3 y]+((Log[4-3 y])/(2 (y^2)))+(3/32) Log[4-y]-((Log[4-y])/(2 (y^2)))+((Log[1+2 y])/(2 (y^2)))),y->0]]

Άρα το αποτέλεσμα είναι πάλι
Ι=(3/128) (4+Log[3])

Θέμα (4^ο)

Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα του διανυσματικού πεδίου (Overscript[F, ->])==(2(x^2)y,(y^2),4x (z^2)) στην επιφάνεια του κυλίνδρου 
(y^2)+(z^2)==9 στο πρώτο ογδοημέριο δηλαδή x≥0,y≥0,z≥0 και φράσεται από το επίπεδο x==2.

Λύση

Θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες

x=x
y=3 Cos[θ]
z=3 Sin[θ]

Η μεταβολή των παραμέτρων είναι

0≤x≤2, 0≤θ≤(π/2)

Το διάνυσμα

((∂(Overscript[r, ->]))/(∂x))×((∂(Overscript[r, ->]))/(∂θ))==(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {((∂x)/(∂x)), ((∂y)/(∂x)), ((∂z)/(∂x))}, {((∂x)/(∂θ)), ((∂y)/(∂θ)), ((∂z)/(∂θ))}}))

D[x,x]
D[y,x]
D[z,x]
D[x,θ]
D[y,θ]
D[z,θ]

((∂(Overscript[r, ->]))/(∂x))×((∂(Overscript[r, ->]))/(∂θ))==(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {((∂x)/(∂x)), ((∂y)/(∂x)), ((∂z)/(∂x))}, {((∂x)/(∂θ)), ((∂y)/(∂θ)), ((∂z)/(∂θ))}}))==(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {1, 0, 0}, {0, -3 Sin[θ], 3Cos[θ]}}))=={0,-3Cos[θ],-3 Sin[θ]}

n={0,-3Cos[θ],-3 Sin[θ]}

Η διανυσματική συνάρτηση γίνεται

f={2(x^2)y,(y^2),4x (z^2)}

και

f.n

Υπολογίζουμε τώρα το επιφανειακό ολοκλήρωμα

A==∫∫(Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[S, ->])==∫∫(Overscript[f, ->]).(Overscript[n, ->])\[DifferentialD]x\[DifferentialD]θ=((∫_0)^2)((∫_0)^(π/2))(-27 ((Cos[θ])^3)-108 x ((Sin[θ])^3))\[DifferentialD]x \[DifferentialD]θ

Ο υπολογιστής δίνει το αποτέλεσμα

A=Integrate[-27 ((Cos[θ])^3)-108 x ((Sin[θ])^3),{x,0,2},{θ,0,(π/2)}]

Σχεδιάζουμε την επιφάνεια

Plot3D[{(Sqrt[9-(y^2)])},{x,0,2},{y,0,3},AxesLabel->{X,Y,Z},BoxRatios->{1,1,1}]

Το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί και από το θεώρημα του Στόουκς.
∫(∫_S)(Overscript[∇, ->])×(Overscript[G, ->]).\[DifferentialD](Overscript[S, ->])==(∫_(∂S))(Overscript[G, ->]).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])
	Πρέπει όμως να βρεθεί διάνυσμα (Overscript[G, ->]) τέτοιο ώστε   (Overscript[∇, ->])×(Overscript[G, ->])=(Overscript[F, ->])

Θέμα (5^ο)

Να επαληθευτεί ο τύπος του Στόουκς για την διανυσματική συνάρτηση (Overscript[f, ->])==(y,3x,y-(z^2)) πάνω στην επιφάνεια S του ημισφαιρίου (x^2)+(y^2)+(z^2)==9,x≥0.

Λύση

Ο τύπος του Στόουκς είναι

∫(∫_S)(Overscript[∇, ->])×(Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[S, ->])==(∫_(∂S))(Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])

Θα υπολογίσουμε το πρώτο μέλος

A=(Overscript[∇, ->])×(Overscript[f, ->])==(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {(∂_x), (∂_y), (∂_z)}, {y, 3x, y-(z^2)}}))==((∂_y)(y-(z^2))-∂(3x),(∂_z)y-(∂_x)(y-(z^2)),(∂_x)(3x)-(∂_y)y)

Ο υπολογιστής δίνει

Clear[x,y,z]
A={D[y-(z^2),y]-D[3x,z],D[y,z]-D[y-(z^2),x],D[3x,x]-D[y,y]}

Θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες

x=3 Sin[θ]
y=3 Cos[θ]Cos[ϕ]
z=3 Cos[θ]Sin[ϕ]

Για το  ημισφαίριο x≥0οι μεταβολές στις γωνίες είναι

0≤θ≤(π/2)
0≤ϕ≤2π

Παρατήρηση. Για ολόκληρη την σφαίρα οι μεταβολή θα ήταν -(π/2)≤θ≤(π/2)

\[DifferentialD](Overscript[S, ->])=(Overscript[n, ->]) \[DifferentialD]θ\[DifferentialD]ϕ

όπου (Overscript[n, ->])=(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {(∂_θ)x, (∂_θ)y, (∂_θ)z}, {(∂_ϕ)x, (∂_ϕ)y, (∂_ϕ)z}}))==(({{(Overscript[i, ->]), (Overscript[j, ->]), (Overscript[k, ->])}, {(∂_θ)3 Sin[θ], (∂_θ)3 Cos[θ]Cos[ϕ], (∂_θ)3 Cos[θ]Sin[ϕ]}, {(∂_ϕ)3 Sin[θ], (∂_ϕ)3 Cos[θ]Cos[ϕ], (∂_ϕ)3 Cos[θ]Sin[ϕ]}}))

Ο υπολογιστής δίνει

n=Simplify[{D[y,θ]D[z,ϕ]-D[z,θ]D[y,ϕ],D[z,θ]D[x,ϕ]-D[x,θ]D[z,ϕ],D[x,θ]D[y,ϕ]-D[y,θ]D[x,ϕ]}]

A.n

Το πρώτο μέρος του τύπου του Στόουκς είναι

G=∫∫A.n \[DifferentialD]ϕ \[DifferentialD]θ

Ο υπολογιστής δίνει

G=Integrate[Integrate[A.n,{ϕ,0,2π}],{θ,0,(π/2)}]

Θα υπολογίσουμε το δεύτερο μέλος

x=0
y=3Cos[θ]
z=3Sin[θ]

r={x,y,z}

f={y,3x,y-(z^2)}

D[r,θ]

f.D[r,θ]

Το δεύτερο μέρος του τύπου του Στόουκς είναι

∫(Overscript[f, ->]).\[DifferentialD](Overscript[r, ->])=∫(Overscript[f, ->]).(Overscript[r, ->])'\[DifferentialD]θ

Ο υπολογιστής δίνει

Integrate[3 Cos[θ] (3 Cos[θ]-9 ((Sin[θ])^2)),{θ,2π,0}]

Τα δύο μέλη είναι ίσα με I=-9π

Παρατήρηση. Πρέπει να προσέξετε στην φορά διαγραφής της καμπύλης

Αν την πάρετε ανάποδα θα βρείτε διαφορά ένα μείον

Integrate[3 Cos[θ] (3 Cos[θ]-9 ((Sin[θ])^2)),{θ,0,2π}]