Ορίζουμε την συνάρτηση που μας δίνεται

f[x_]=If[x<0,1,Cos[2x]]

Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιτή και έχει την παρακάτω γραφική παράσταση

Plot[f[x],{x,-π,π}]

Υπολογίζουμε τον συντελεστή a0

a0=Integrate[(1/π)f[x],{x,-π,0}]+Integrate[(1/π)f[x],{x,0,π}]

Υπολογίζουμε και τους υπόλοιπους συντελεστές

an=Integrate[(1/π)f[x]Cos[n x],{x,-π,0}]+Integrate[(1/π)f[x]Cos[n x],{x,0,π}]
bn=Integrate[(1/π)f[x]Sin[n x],{x,-π,0}]+Integrate[(1/π)f[x]Sin[n x],{x,0,π}]

Προσοχή στην τιμή n=2 εμφανίζεται 0 στον παρανομαστή. Πρέπει να υπολογίσουμε τους συντελεστές με την τιμή n = 2 ξεχωριστά. Βρίσκουμε

n=2;
a2=Integrate[(1/π)f[x]Cos[n x],{x,-π,0}]+Integrate[(1/π)f[x]Cos[n x],{x,0,π}]
b2=Integrate[(1/π)f[x]Sin[n x],{x,-π,0}]+Integrate[(1/π)f[x]Sin[n x],{x,0,π}]
Clear[n]

Οι Συνελεστες an είναι όλοι μηδέν εκτός από τον a2 και 
από τους συντελεστές bn εκείνοι που έχουν n=2k δηλαδή είναι άρτιοι είναι όλοι μηδέν 
ενώ για n=2k+1 δηλαδή οι περιτοί είναι

(Subscript[b, 2κ+1])=((-2)/((2k+1) π))-(((2k+1) (-2))/((-4+(((2k+1))^2)) π))

Τέλος η σειρά Φουριέ είναι

g[x_]=(1/2)+(1/2)Cos[2x]+(∑_(k=0)^m)(-(2/((1+2 k) π))+((2 (1+2k))/((-4+(((1+2k))^2)) π)))Sin[(2k+1)x]

Ορίζουμε τις τρείς πρώτες προσεγγίσεις και κάνουμε την γραφική παράσταση πάνω στο ίδιο σχήμα

m=0;
g0[x_]=(1/2)+(1/2)Cos[2x]+(∑_(k=0)^m)(-(2/((1+2 k) π))+((2 (1+2k))/((-4+(((1+2k))^2)) π)))Sin[(2k+1)x]
m=1;
g1[x_]=(1/2)+(1/2)Cos[2x]+(∑_(k=0)^m)(-(2/((1+2 k) π))+((2 (1+2k))/((-4+(((1+2k))^2)) π)))Sin[(2k+1)x]
m=2;
g2[x_]=(1/2)+(1/2)Cos[2x]+(∑_(k=0)^m)(-(2/((1+2 k) π))+((2 (1+2k))/((-4+(((1+2k))^2)) π)))Sin[(2k+1)x]

Plot[{f[x],g0[x],g1[x],g2[x]},{x,-π,π}]