\(Θέμα\ 1\ Μονάδες\ 2\)

a x (E^(2 x y)) y' + 
        y (E^(2  x y)) + b x = 0

\(Λύση\)

ww = 
      a x (E^(2 x y)) y' + 
        y (E^(2  x y)) + b x

q = Coefficient[ww, y']
p = ww - q y'

\(Αναγκαία\ συνθήκη\ ώστε\ να\ είναι\ ακριβής\)

ss = Solve[D[q, x] == D[p, y], {a, b}]

Απάντηση είναι ακριβής για a=\(1\ και\ για\ κάθε\ b\)

\(για\ \ \ \ a = 
      1\ \ \ \ η\ εξίσωση\ γίνεται\)

ReplaceAll[ww, ss]

b x+(E^(2 x y)) y+(E^(2 x y)) x y'==0

\(Λύση\ της\ διαφορικής\ εξίσωσης\ για\ a = 1\)

Simplify[DSolve[b x+(E^(2 x y[x])) y[x]+(E^(2 x y[x])) x y'[x]==0,y[x],x]]

\(Τελική\ λύση\ \ \ y[x] = 
      Log[\(-b\)\ x\^2 + 2\ C[1]]\/\(2\ x\)\)

\(Αν\ θέλουμε\ μια\ πιό\ φιλική\ μορφή\ λύνουμε\ την\ εξίσωση\ ως\ προς\ C[1]\)

Solve[y[x] == Log[-b (x^2) + 2 C[1]]/(2 x), 
      C[1]]

\(Θέμα\ 2\ Μονάδες\ 2\)

y''[x] + 4  y[x] = 8  Sin[2  x]
y[0] = 0, y'[0] = 0

\(Λύση\)

\(Αντικαθιστούμε\ το\ y[
        x]\ με\ το\ ay[
        x]\ γιατι\ το\ y[
        x]\ έχει\ ορισθεί\ αλλιώς\)

Simplify[
      DSolve[{ay''[x] + 4  ay[x] == 8  Sin[2  x], 
          ay[0] == 0, ay'[0] == 0}, ay[x], x]]

Τελική λύση     y[x]=-2 x Cos[2 x] + Sin[2 x]

\(Λύση\ χωρίς\ τον\ υπολογιστή\ \ Λύση\ ομογενούς\)

Simplify[
      DSolve[ay''[x] + 4  ay[x] == 0, ay[x], x]]

\(Τελική\ λύση\ ομογενούς\)

yo = C[1] Cos[2 x] + C[2] Sin[2 x]

\(Θα\ βρώ\ μερική\ λύση\ με\ την\ μέθοδο\ προσδιορισμού\ των\ σταθερών\)

ym[x_] = c1[x] Cos[2 x] + c2[x] Sin[2 x]

e = c1[x] Cos[2 x] + c2[x] Sin[2 x]

\(Παραγωγίζω\)

D[e, x]

\(Πρώτη\ εξίσωση\)

Cos[2 x] c1'[x]+Sin[2 x] c2'[x]==0

e1 = 2 c2[x] Cos[2 x] - 2 c1[x] Sin[2 x]

\(Παραγωγίζω\ πάλι\)

e2 = D[e1, x]

\(Δεύτερη\ εξίσωση\)

ee = Simplify[e2 + 4  e] == 8  Sin[2  x]

\(Το\ σύστημα\ είναι\)

Cos[2 x] c1'[x]+Sin[2 x] c2'[x]==0
-2 Sin[2 x] c1'[x]+2 Cos[2 x] c2'[x]==8 Sin[2 x]

\(Λύνω\ το\ σύστημα\)

Solve[{Cos[2 x] c1'[x]+Sin[2 x] c2'[x]==0,-2 Sin[2 x] c1'[x]+2 Cos[2 x] c2'[x]==8 Sin[2 x]},{c1'[x], c2'[x]}]

\(Απλοποιώ\ την\ πρώτη\ λύση\)

c1'[x]->-2 ReplaceAll[
          TrigExpand[ReplaceAll[Sin[4 x], x -> (f/2)]] , 
          f -> 2  x] Tan[2  x]

\(Αρα\ βρίσκω\ τελικά\)

c1'[x]==-4 Sin[2 x]^2
c2'[x]==2 Sin[4 x]

\(Λύνω\ τις\ παραπάνω\ διαφορικές\ εξισώσεις\ \)
\(μηδενίζω\ τις\ αφθαίρετες\ σταθερές\ που\ βγάζει\ το\ πρόγραμμα\)

ttt=ReplaceAll[DSolve[{c1'[x]==-4 Sin[2 x]^2,c2'[x]==2 Sin[4 x]},{c1[x], c2[x]},x,GeneratedParameters -> f],{f[1] -> 0, f[2] -> 0}]

\(Αρα\ η\ μερική\ λύση\ είναι\)

ym = 
      Expand[ReplaceAll[
          TrigReduce[ReplaceAll[c1[x] Cos[2 x] + c2[x] Sin[2 x], ttt]], 
          ss]]

ym = -2 x Cos[2 x]

\(Αλλος\ τρόπος\ για\ την\ μερική\ λύση\)
\(Υποθέτω\ οτι\ η\ μερική\ λύση\ είναι\ της\ μορφής\)

ym = x (a1 Cos[2  x] + a2  Sin[2  x])

\(Αντικαθιστώ\ στην\ εξίσωση\ βρίσκω\ τους\ συντελεστές\ του\ ημιτόνου\ και\ του\ συνημιτόνου\ και\ βρίσκω\ τα\ a1\ και\ a2\ ώστε\ οι\ συντελεστές\ να\ είναι\ μηδέν\ \ \ \ \ \ Βρίσκω\)

ttt = 
      Solve[{Coefficient[D[D[ym, x], x] + 4  ym - 8  Sin[2  x], 
              Cos[2  x]] == 
            0, 
Coefficient[
              D[D[ym, x], x] + 4  ym - 8  Sin[2  x], Sin[2  x]] == 
            0}, {a1, a2}]

\(Αρα\ η\ μερική\ λύση\ είναι\)

ym = ReplaceAll[ym, ttt]

\(Η\ γενική\ λύση\)

by = yo + ym

\(Πρέπει\ να\ ικανοποιούνται\ οι\ αρχικές\ συνθήκες\)
\(Βρίσκω\ τις\ τιμές\ της\ συνάρτησης\ και\ της\ παραγώγου\ στο\ \)
x = 0

aa1 = Limit[by, x -> 0]
aa2 = Limit[D[by, x], x -> 0]

\(Από\ τα\ δεδομένα\ της\ άσκησης\ βρίσκω\ τις\ σταθερές\)

tt = Solve[{aa1 == 0, aa2 == 0}, {C[1], C[2]}]

\(Αρα\ \((ουφ)\) τελική\ λύση\)

Simplify[ReplaceAll[by, tt]]

\(Συμπέρασμα\ \ η\ χρήση\ του\ υπολογιστή\ απλοποιεί\ τον\ υπολογισμό\)

\(Θέμα\ 3\ Μονάδες\ 3\)

\(Ορίζουμε\ την\ συνάρτηση\ f \((x, y)\)\)

f[x_, y_] = 3  x + (y^2)

\(Η\ λύση\ της\ εξίσωσης\ που\ δίνει\ το\ mathematica\ είναι\)

ttt = 
      Simplify[DSolve[{yyy'[x] == 3  x + yyy[x]^2, 
            yyy[0] == 1}, yyy[x], x]]

yyy = ((3^(1/6)) (-4 (3^(1/3)) (x^(3/2)) BesselJ[-(2/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))] Gamma[-(1/3)] Gamma[
                    (1/3)] + (3 (x^(3/2)) BesselJ[-(4/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))] + (Sqrt[3]) BesselJ[-(1/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))] - 
                      3 (x^(3/2)) BesselJ[
                          (2/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))]) (Gamma[-(1/3)] - 3 Gamma[(2/3)]) Gamma[
                    (2/3)]))/(2 x (2 BesselJ[
                    (1/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))] Gamma[-(1/3)] Gamma[(1/3)] + 
                (3^(2/3)) BesselJ[-(1/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))] Gamma[(2/3)] (-Gamma[-(1/3)] + 
                      3 Gamma[(2/3)])))

\(Γραφική\ Παράσταση\)

Plot[yyy, {x, 0, 5}];

\(Οι\ συναρτήσεις\ Μπέσελ\ που\ εμφανίζονται\ στο\ αποτέλεσμα\ \ έχουν\ την\ ακόλουθη\ γραφική\ παράσταση\)

Plot[{BesselJ[(2/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))], 
          BesselJ[(1/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))], 
          BesselJ[-(1/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))], 
          BesselJ[-(2/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))], 
          BesselJ[-(4/3), ((2 (x^(3/2)))/(Sqrt[3]))]}, {x, 0, 5}, 
        PlotRange -> {{0, 5}, {-1, 1}}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], 
            RGBColor[ .8,  .2, 0], RGBColor[ .6,  .4, 0], 
            RGBColor[ .4,  .6, 0], RGBColor[ .2,  .8, 0], 
            RGBColor[0, 1, 0]}];

\(Ορίζουμε\ την\ συνάρτηση\ f \((x, y)\)\)

f[x_, y_] = 3  x + (y^2)

\(Μηδενική\ προσέγγιση\)

y0 = 1

\(Πρώτη\ προσέγγιση\)

y1 = 
      Simplify[y0 + 
          Integrate[f[t, ReplaceAll[y0, x -> t]], {t, 0, x}]]

\(Δεύτερη\ προσέγγιση\)

y2 = 
      Simplify[y0 + 
          Integrate[f[t, ReplaceAll[y1, x -> t]], {t, 0, x}]]

\(Τρίτη\ προσέγγιση\ \((εκτός\ θέματος)\)\)

y3 = 
      Collect[y0 + Integrate[f[t, ReplaceAll[y2, x -> t]], {t, 0, x}], 
        x, Simplify]

\(Γραφική\ παράσταση\ των\ προσεγγίσεων\ γύρω\ από\ το\ σημείο\ \((0, 1)\)\)

Plot[{yyy, y0, y1, y2, y3, 0}, {x, 0,  .8}, 
        PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 1], 
            RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[0, 0, 0], 
            RGBColor[0, 0, 0]}];

\(\(\(Με\)\(\ \)\(κόκκινο\)\(\ \)\(η\)\(\ \)\(πραγματική\)\(\ \)\(λύση\)\(\ \)\)\)

\(Συμπέρασμα\ \ \)
\(\(Η\ μέθοδος\ Picard\ τίθεται\ στο\ ιστορικό\ αρχείο ... \) ... \)

\(Θέμα\ 4\ Μονάδες\ 3\)

y'[
        x] = (Subscript[σ, 0])[
          x] + (Subscript[σ, 1])[x] y[x] + (Subscript[σ, 2])[x] y[x]^2

\(Λύση\)

DSolve[y'[
          x] == (Subscript[σ, 0])[
            x] + (Subscript[σ, 1])[x] y[x] + (Subscript[σ, 2])[x] y[x]^2, y[x], 
      x]

\(Η\ απάντηση\ δηλώνει\ ότι\ το\ πρόγραμμα\ δεν\ τα\ κατάφερε\)

\(Δίνεται\ \ \ \ \ yy\_1[
        x]\ \ \ μια\ μερική\ λύση\ \ δηλαδή\)

((Subscript[yy, 1]))'[x]=(Subscript[σ, 0])[x] + (Subscript[yy, 1])[x] (Subscript[σ, 1])[x] + 
        (Subscript[yy, 1])[x]^2 (Subscript[σ, 2])[x]

\(θέτουμε\)

y[x] = (Subscript[yy, 1])[x] + u[x]

\(και\ βρίσκουμε\)

Simplify[
      D[y[x], x] == (Subscript[σ, 0])[
            x] + (Subscript[σ, 1])[x] y[x] + (Subscript[σ, 2])[x] y[x]^2]

\(μια\ εξίσωση\ μπερνούλι\ που\ το\ πρόγραμμα\ μπορεί\ να\ την\ λύσει\)

ttt=Simplify[DSolve[u[
                  x] ((Subscript[σ, 1])[
                      x] + (u[x] + 2 (Subscript[yy, 1])[x]) (Subscript[σ, 2])[x])==u'[x],u[x],x]]

\(Βρίσκουμε\ μια\ πιο\ φιλική\ έκφραση\)

pp = {K$168 -> (Subscript[w, 1]), 
          K$197 -> (Subscript[w, 2])};
ReplaceAll[ttt, pp]

\(Τελική\ λύση\)

y[x] = ((E^((∫_1^x)((Subscript[σ, 1])[(Subscript[w, 1])] + 2 (Subscript[yy, 1])[(Subscript[w, 1])] (Subscript[σ, 2])[(Subscript[w, 1])]) \[DifferentialD](Subscript[w, 1])))/(C[1] - (∫_1^x) (E^((∫_1^((Subscript[w, 2])))((Subscript[σ, 1])[(Subscript[w, 1])] + 2 (Subscript[yy, 1])[(Subscript[w, 1])] (Subscript[σ, 2])[(Subscript[w, 1])]) \[DifferentialD](Subscript[w, 1]))) (Subscript[σ, 2])[(Subscript[w, 2])] \[DifferentialD](Subscript[w, 2]))) + (Subscript[yy, 1])[x]

\(Αν\ έχουμε\ δύο\ μερικές\ λύσεις\ \ \ yy\_1[x], 
    yy\_2[x]\ \ τότε\)

\(Κάνουμε\ τον\ μετασχηματισμό\)

z[x_] = ((yy[x] - yy1[x])/(yy[x] - yy2[x]))

\(Γράφω\ yy[
        x]\ αντί\ y[
        x]\ διότι\ το\ y[
        x]\ έχει\ ήδη\ ορισθεί\)

yy1'[
        x] = σ0[
          x] + σ1[x] yy1[x] + σ2[
            x] yy1[x]^2
yy2'[
        x] = σ0[
          x] + σ1[x] yy2[x] + σ2[
            x] yy2[x]^2
yy'[
        x] = σ0[
          x] + σ1[x] yy[x] + σ2[x] yy[x]^2

FullSimplify[D[z[x], x]]

\(\(\(Δηλαδή\ η\ συνάρτηση\ \ \ \ z[
          x] -> zz[x]\ 

    ικανοποιεί\ την\ διαφορική\ εξίσωση\)\(\ \)\)\)

zz'[x] == 
      ReplaceAll[(((yy[x] - yy1[x]) (yy1[x] - yy2[x]) σ2[x])/(yy[x] - yy2[x])), 
        yy[x] - yy1[x] -> zz[x] (yy[x] - yy2[x])]

\(που\ την\ λύνουμε\)

ttt=FullSimplify[DSolve[zz'[x]==(yy1[x] - yy2[x]) zz[x] σ2[x],zz[x],x]]

\(Βρίσκουμε\ μια\ πιο\ φιλική\ έκφραση\)

ss = {K$548 -> w};
ReplaceAll[ttt, ss]

\(Αρα\ τελικά\)

zz[x] = ((yy[x] - yy1[x])/(yy[x] - yy2[x])) = (E^((∫_1^x)(yy1[w] - yy2[w]) σ2[w] \[DifferentialD]w)) C[
            1]

\(Δεύτερη\ Λύση\)

yy1'[
        x] = (Subscript[σ, 0])[
          x] + (Subscript[σ, 1])[x] yy1[x] + (Subscript[σ, 2])[x] yy1[x]^2

\(Κάνουμε\ τον\ μετασχηματισμό\)

y[x] = yy1[x] + (1/zzz)[x]

\(Βρίσκουμε\ την\ διαφορική\ εξίσωση\ που\ ικανοποιεί\ η\ zzz[
        x]\)

rr = 
      Simplify[D[y[x], 
            x] == (Subscript[σ, 0])[
              x] + (Subscript[σ, 1])[x] y[x] + (Subscript[σ, 2])[x] y[x]^2]

\(Η\ εξίσωση\ είναι\)

rr=(Subscript[σ, 2])[x]+zzz[x] ((Subscript[σ, 1])[x] + 2 yy1[x] (Subscript[σ, 2])[x])+zzz'[x]==0

\(και\ την\ λύνουμε\)

ttt = Simplify[DSolve[rr, zzz[x], x]]

\(Βρίσκουμε\ μια\ πιό\ φιλική\ μορφή\)

ss = {K$731 -> w1, 
          K$776 -> w2};
Simplify[ReplaceAll[ttt, ss]]

\(Δηλαδή\)

zzz[
        x] = (E^((∫_1^x)(-(Subscript[σ, 1])[w1] - 2 yy1[w1] (Subscript[σ, 2])[w1]) \[DifferentialD]w1)) (C[
              1] + (∫_1^x)-(E^(-(∫_1^w2)(-(Subscript[σ, 1])[w1] - 2 yy1[w1] (Subscript[σ, 2])[w1]) \[DifferentialD]w1)) (Subscript[σ, 2])[w2] \[DifferentialD]w2)

\(Άρα\ λύση\)

yy[x] == yy1[x] + (1/zzz)[x]

yy[
        x] == ((E^(-(∫_1^x)(-(Subscript[σ, 1])[w1] - 2 yy1[w1] (Subscript[σ, 2])[w1]) \[DifferentialD]w1))/(C[1] + (∫_1^x)-(E^(-(∫_1^w2)(-(Subscript[σ, 1])[w1] - 2 yy1[w1] (Subscript[σ, 2])[w1]) \[DifferentialD]w1)) (Subscript[σ, 2])[w2] \[DifferentialD]w2)) + yy1[x]

\(Θέμα\ 5\ Μονάδες\ 1\)

\(\(\(Πρέπει\)\(\ \)\(να\)\(\ \)\(υπολογίζουμε\)\(\ \)\(την\)\(\ \)\(ορίζουσα\)\(\ \)\)\)

w[x] = {{u1[x], u2[x], u3[x]}, {D[u1[x], x], D[u2[x], x], 
            D[u3[x], x]}, {D[D[u1[x], x], x], D[D[u2[x], x], x], 
            D[D[u3[x], x], x]}} // MatrixForm

\(Δίνονται\ οι\ συναρτήσεις\)

u1[x] = x
u2[x] = Cos[3  x]
u3[x] = (E^(4  x))

ww = 
        Simplify[{{u1[x], u2[x], u3[x]}, {D[u1[x], x], D[u2[x], x], 
              D[u3[x], x]}, {D[D[u1[x], x], x], D[D[u2[x], x], x], 
              D[D[u3[x], x], x]}}];
MatrixForm[ww]

\(Υπολογίζουμε\ την\ ορίζουσα\)

ss = Simplify[Det[ww]]

\(Βρίσκουμε\ πότε\ η\ ορίζουσα\ γίνεται\ μηδέν\)

Solve[ss == 0, x]

\(Η\ ορίζουσα\ δεν\ γίνεται\ ποτέ\ μηδέν\ και\ άρα\ οι\ συναρτήσεις\ είναι\ γραμμικά\ \(\(ανεξάρτητες\)\(.\)\)\)