ΜΑΣ 001 - Μαθηματικά Ι

Ύλη του μαθήματος που έχει καλυφθεί μέχρι 28/11/2012.

Οι πραγματικοί αριθμοί: Τα σύνολα των φυσικών, ακεραίων, ρητών και πραγματικών αριθμών. Αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών, διατεταγμένα σώματα, το αξίωμα της πληρότητας. Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών, ακέραιο μέρος, ρητοί-άρρητοι και απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών.
Αντιστοιχίες - Συναρτήσεις: Εισαγωγικές έννοιες, πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, γράφημα συναρτήσεων, η άλγεβρα των συναρτήσεων. Αντίστροφη συνάρτηση και σύνθεση συναρτήσεων, μονοτονία, ακρότατα, φράγματα συναρτήσεων, άρτιες, περιττές και περιοδικές συναρτήσεις. Βασικά θεωρήματα.
Όρια συναρτήσεων: Εισαγωγικές έννοιες, οριακά σημεία. Οριακή τιμή συνάρτησης όταν x → ± ∞ και x → x0 , πλευρικά όρια. Ιδιότητες ορίων, βασικά όρια συναρτήσεων.
Συνέχεια συνάρτησης: Εισαγωγικά, βασικοί ορισμοί συνεχών και ασυνεχών συναρτήσεων. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων, χαρακτηριστικές συνεχείς συναρτήσεις. Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, και το θεώρημα Bolzano.
Παράγωγος συνάρτησης: Εισαγωγικά, ορισμός παραγώγου μιας συνάρτησης σε σημείο και η συνάρτηση παραγώγου μιας συνάρτησης, γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου, κανόνες παραγώγισης (αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου, πηλίκου, σύνθετης και αντίστροφης συνάρτησης) , παράγωγοι των κυριοτέρων στοιχειωδών συναρτήσεων. Εφαρμογή των παραγώγων στον υπολογισμό ορίων απροσδιόριστων μορφών - κανόνες του l'Hôpital. Τέσσερα σημαντικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού : Θεώρημα του Fermat, Θεώρημα του Rolle, Θεώρημα μέσης τιμής (Lagrange-Cauchy). Ακρότατα και μονοτονία. Κοίλες και κυρτές συναρτήσεις, σημεία καμπής, ασύμπτωτες. Μελέτη συνάρτησης με την χρήση παραγώγων. Προβλήματα Βελτιστοποίησης.
Ολοκλήρωμα (Riemann) συνάρτησης: Το αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα, ή αντιπαράγωγος) μιας συνάρτησης. Μέθοδοι υπολογισμού αόριστου ολοκληρώματος: ολοκλήρωση με αντικατάσταση και ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann, αθροίσματα Riemann, το πρώτο και δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. Χρήση του ορισμένου ολοκληρώματος στην κατασκευή νέων συναρτήσεων, στον υπολογισμό εμβαδών που περικλείονται από καμπλύλες στο επίπεδο και στον υπολογισμό όγκων στερεών που παράγονται από περιστροφή γύρω από άξονα.


Αξιολόγηση: Ο βαθμός Β προκύπτει ως εξής: B = 0.4 Bενδ + 0.6 Bτελ, όπου
Bενδ ο βαθμός της ενδιάμεσης γραπτής εξέτασης (Σάββατο, 10 Νοεμβρίου 2012), και
Bτελ ο βαθμός της τελικής γραπτής εξέτασης (κατά την εξεταστική περίοδο). x 2 + 4 x + 4 = 0