B. Περίγραμμα του Μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ»

  1. Η έννοια και η σημασία της αριθμητικής ανάλυσης: Οι αρχαίοι Έλληνες με τον όρο «αριθμητική» εννοούσαν σπουδές στις μαθηματικές ιδιότητες των αριθμών. Με την αριθμητική ασχολούνταν κυρίως οι φιλόσοφοι. Η σημασία και η σπουδαιότητα που έδιναν οι αρχαίοι Έλληνες τόσο στην έννοια του «αριθμού» όσο και στην «ενασχόληση με τους αριθμούς» ήταν μεγάλη. Αυτό καταδεικνύεται σε διάφορα γνωμικά που μας έχουν αφήσει κληρονομιά επιφανείς πρόγονοί μας. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ο Πλάτων (427–347 π.Χ.) στους «Νόμους 747β,1–5» είπε:


    «Διότι και για την οικονομία και για την πολιτεία και για όλες τις τέχνες κανένα άλλο μάθημα δεν έχει τόσο μεγάλη εκπαιδευτική δύναμη όσο η ενασχόληση με τους αριθμούς. Το δε μέγιστον είναι ότι τον νυστάζοντα και εκ φύσεως αμαθή τον διεγείρει και τον καθιστά ευμαθή και μνημονικόν και οξύνουν».

    Επίσης ο Πλάτων διά στόματος Σωκράτη (470|469–399 π.Χ.) στην «Πολιτεία, Ζ'» έλεγε ότι:


    «Αφού δεν έχουμε πλέον τίποτε εκτός από αυτά, ας λάβουμε, λέω, κανένα από τα γενικά μαθήματα. Να αυτό (...) που το χρησιμοποιούν όλες οι τέχνες και οι επιστήμες και οι διάνοιες (...) και το ονομάζω με γενικό όνομα «αριθμητική» ή δεν είναι αλήθεια ότι κάθε τέχνη και επιστήμη είναι αναγκασμένη να προσφεύγει σ' αυτό;
    Μου φαίνεται πως είναι (αυτό το μάθημα) από εκείνα που ζητάμε και πως έχει την ιδιότητα να ανυψώνει την ψυχή στην καθαρή νόηση και να την ελκύει προς τη θεωρία του καθ' αυτό όντος, αν και κανείς δεν ξέρει να το μεταχειρίζεται σωστά.
    — Ώστε η αριθμητική οδηγεί στην αλήθεια ...
    — Θα είναι λοιπόν από εκείνα τα μαθήματα που ζητούσαμε να είναι πράγματι απαραίτητα στο μαθηματικό γιατί πρέπει να ξέρει από κείνα που είναι επιδεκτικά γενέσεως και φθοράς και να ανυψωθεί στην ουσία των πραγμάτων, άλλως ουδέποτε θα γίνει αληθινός μαθηματικός.
    — Πρέπει με νόμο να θεσπίσουμε αυτό το μάθημα και να υποχρεώσουμε τους μέλλοντες να πάρουν τα ανώτατα αξιώματα στην πολιτεία μας να επιδίδονται στην αριθμητική όχι επιπόλαια, αλλά μέχρι του βαθμού να είναι ικανοί με την καθαρή νόηση να γνωρίζουν αυτή τη φύση και την ουσία των αριθμών, όχι για να τη χρησιμοποιούν βέβαια, όπως οι έμποροι και οι μεταπράτες στις δοσοληψίες τους, αλλά για να διευκολύνουν την ψυχή να γυρίζει από τα φθαρτά στην αλήθεια και την ουσία των όντων.
    — Βλέπουμε λοιπόν, ότι πραγματικά μας είναι απαραίτητο το μάθημα αυτό, αφού φαίνεται ότι αναγκάζει την ψυχή να μεταχειριστεί τη νόηση για να γνωρίζει την αλήθεια.
    — ... η επιστήμη αυτή της αριθμητικής ολόκληρη δεν έχει άλλο αντικείμενο, παρά τη γνώση του αιωνίως όντος».

    Ο καινοτόμος της μαθηματικής σκέψης και κατεξοχήν θεμελιωτής των Ελληνικών Μαθηματικών Πυθαγόρας ο Σάμιος (579|572–500|490 π.Χ.) έλεγε:


    «Οι αριθμοί καθορίζουν την τάξη και την αρμονία στο σύμπαν».

    Επίσης πεποίθηση του Πυθαγόρα ήταν πως:


    «Τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων»,

    και ότι:


    «Η αριθμητική αποτελεί την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής».

    Ο Αθηναίος τραγικός ποιητής Αισχύλος (525|524–456|455 π.Χ.) στον «Προμηθέα Δεσμώτη» είπε:


    « ... και βρήκα γι' αυτούς (τους ανθρώπους) τον αριθμό που αποτελεί το εξοχότερο των επινοημάτων».

    Ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος (περίπου το 500 π.Χ.) έλεγε:


    «Πραγματικά, το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό. Αλλιώς, θα ήταν αδύνατο να το γνωρίζουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το «Ένα» είναι η αρχή του παντός».

    Ο κλάδος της επιστήμης που κύρια ενασχολείται με τους αριθμούς είναι η Αριθμητική Ανάλυση (numerical analysis) οι ρίζες της οποίας χάνονται στα βάθη των αιώνων. Γενικά, αναφέρεται ότι η Αριθμητική Ανάλυση είναι «η τέχνη και η επιστήμη του υπολογισμού» και θεωρείται σαν σημαντικός κλάδος των Μαθηματικών. Είναι πολύ δύσκολο να δοθεί ορισμός για το τι είναι τα Μαθηματικά. Υπάρχει διάχυτη η πεποίθηση ότι τα Μαθηματικά δεν μπορείς να τα ορίσεις διότι αν τα ορίσεις τα περιορίζεις και αν τα περιορίσεις δεν είναι πια Μαθηματικά. Σ' αυτό το σημείο θα σεβαστούμε την άποψη για τα Μαθηματικά του κορυφαίου σύγχρονου Έλληνα Μαθηματικού Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή (1873–1950) η οποία ήταν:


    «Τα Μαθηματικά είναι η λογιστική των αναπόδραστων συμπερασμάτων».

    H Αριθμητική Ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που ασχολείται με τη διακριτοποίηση «συνεχών» προβλημάτων των Μαθηματικών, των οποίων τη λύση θέλουμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο (algorithm) (δηλαδή μια πεπερασμένη συνεχή αλληλουχία από αυστηρά καθορισμένες και εκτελέσιμες μία προς μία σε πεπερασμένο χρόνο εντολές που έχει αρχή και τέλος και στοχεύει στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος) και κατ’ επέκταση την υλοποίηση του αλγορίθμου με ένα πρόγραμμα (program) στον υπολογιστή (computer) (δηλαδή σε αυτόν που πραγματοποιεί διαδικασίες υπολογισμού). Ο von Neumann (John Louis von Neumann, 1903–1957, Ούγγρος Μαθηματικός) το 1945 έδωσε για το πρόγραμμα ένα γενικό ορισμό σύμφωνα με τον οποίο «το πρόγραμμα αποτελείται από μια συνεχή αλληλουχία εντολών τις οποίες ο υπολογιστής καλείται να εκτελέσει μία προς μία για να παραχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα». Για την δημιουργία ενός προγράμματος χρησιμοποιείται μια τεχνητή γλώσσα που επιτρέπει την επικοινωνία προγραμματιστή και υπολογιστή και η οποία ονομάζεται γλώσσα προγραμματισμού (programming language). Η διαδικασία της δημιουργίας του προγράμματος ονομάζεται προγραμματισμός (programming), ενώ το σύνολο των προγραμμάτων που χρησιμοποιούνται από τους υπολογιστές ονομάζεται λογισμικό (software). Έτσι σκοπός της Αριθμητικής Ανάλυσης είναι η μετατροπή Μαθηματικών προβλημάτων σε ισοδύναμα προβλήματα επεξεργάσιμα από υπολογιστή, ώστε να μπορούν να επιλυθούν αριθμητικά για την απόκτηση αριθμητικών τιμών. Τέτοια προβλήματα είναι, για παράδειγμα, η επίλυση μη–γραμμικών εξισώσεων, η προσέγγιση συναρτήσεων, η παραγώγιση, η ολοκλήρωση, η επίλυση διαφορικών εξισώσεων, η βελτιστοποίηση συναρτήσεων κ.α. Επομένως, η Αριθμητική Ανάλυση είναι χρήσιμη και πολλές φορές απαραίτητη σε άλλους κλάδους των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, όπως είναι η Επιστήμη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, η Μηχανική και Υπολογιστική Δυναμική, η Επιχειρησιακή Έρευνα, η Υπολογιστική Νοημοσύνη, η Εξόρυξη Δεδομένων, η Κρυπτογραφία, η Στατιστική κ.α. Επίσης, είναι χρήσιμη και σε άλλους κλάδους των Εφαρμοσμένων Επιστημών, όπως είναι η Φυσική, Αστρονομία, Υπολογιστική Βιολογία, Φυσική της Ιατρικής, Υπολογιστική Χημεία, Μετεωρολογία, Ναυπηγική, Τοπογραφία κ.α. Συνεπώς, η Αριθμητική Ανάλυση ενδιαφέρει όλους τους χρήστες των Μαθηματικών στις εφαρμογές τους στην Επιστήμη και στην Τεχνολογία. Για τη μετατροπή των διαφόρων Μαθηματικών προβλημάτων σε επεξεργάσιμα από υπολογιστή προβλήματα, η Αριθμητική Ανάλυση αναπτύσσει κατάλληλες μεθόδους. Μια μέθοδος χαρακτηρίζεται ως κατάλληλη κυρίως όταν μας παρέχει με ακρίβεια και με βεβαιότητα το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα με το μικρότερο δυνατό υπολογιστικό κόστος σε συνδυασμό με το μικρότερο δυνατό απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (μνήμης). Οι μέθοδοι που προκύπτουν διατυπώνονται σε μια έκφραση αλγορίθμου ώστε να υλοποιηθούν κατά τον οικονομικότερο τρόπο μέσω προγραμμάτων στον υπολογιστή. Έτσι, η Αριθμητική Ανάλυση μπορεί να διακριθεί σε δύο αλληλένδετα μέρη: (α) θεωρητικό μέρος που αφορά στη δημιουργία των κατάλληλων μεθόδων και (β) το πρακτικό ή εφαρμοσμένο μέρος που αφορά στην υλοποίηση των μεθόδων σε έναν υπολογιστή. Δυστυχώς, στην Αριθμητική Ανάλυση δεν υπάρχει «πανάκεια», με την έννοια ότι για κάθε κατηγορία προβλημάτων υπάρχει μια συγκεκριμένη κατάλληλη μέθοδος. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι οι οποίες μπορούν να επιλύσουν ένα πρόβλημα, και η καθεμία έχει τα πλεονέκτημά της, αλλά και τα μειονεκτήματά της. Έτσι, η Αριθμητική Ανάλυση δίνει μεγάλη σημασία στο λεπτομερή προσχεδιασμό που απαιτείται για ένα συγκεκριμένο υπολογισμό. Σχετίζεται επίσης και με ζητήματα που αφορούν ακρίβεια, σφάλματα και έλεγχο. Σ' αυτό το σημείο πρέπει κανείς να συμφωνήσει με το μεγάλο επιστήμονα και πρωτοπόρο Albert Einstein (1879–1955) ο οποίος έλεγε:


    «Ανοησία είναι να προσδοκάς καλύτερα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας πάντα την ίδια μέθοδο».

    Βέβαια σημαντικό ρόλο παίζει και ο σωστός προσδιορισμός του προς επίλυση προβλήματος. Γι' αυτό χαρακτηριστικά αναφέρουμε τη ρήση του Albert Einstein ο οποίος έλεγε:


    «Ένα σωστά ορισμένο πρόβλημα έχει ήδη επιλυθεί κατά το ήμισυ»,

    καθώς και τη ρήση του Βολταίρου [Φρανσουά–Μαρί Αρουέ (François–Marie Arouet) επιλεγόμενος Βολταίρος (Voltaire) (1694–1778)] ο οποίος έλεγε:


    «Η σωστή λύση ενός λανθασμένα ορισμένου προβλήματος είναι εξίσου μη αποδεκτή με τη λανθασμένη λύση του σωστά ορισμένου προβλήματος».

    Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: «η Αριθμητική Ανάλυση συνίσταται στην ανάπτυξη και αξιολόγηση μεθόδων για τον υπολογισμό αριθμητικών αποτελεσμάτων από αριθμητικά δεδομένα». Έτσι, η Αριθμητική Ανάλυση θα μπορούσε να ορισθεί και να θεωρηθεί ως «ένα είδος επεξεργασίας πληροφοριών, όπου τα δεδομένα αποτελούν τις πληροφορίες εισόδου, τα αποτελέσματα τις πληροφορίες εξόδου, ενώ η μέθοδος υπολογισμού αποτελεί τον αλγόριθμο». Επίσης αναφέρουμε ότι θεωρητικά ένα αριθμητικό πρόβλημα θεωρείται λυμένο με την παράθεση ενός αλγορίθμου που εφαρμοζόμενος δίνει τη λύση του προβλήματος με κάθε επιθυμητή ακρίβεια. Ακόμη επισημαίνουμε ότι επειδή η Αριθμητική Ανάλυση αναπτύσσει και υλοποιεί αλγορίθμους για την αριθμητική επίλυση Μαθηματικών προβλημάτων τα οποία πολλές φορές δεν επιδέχονται αναλυτική λύση (όπως για παράδειγμα η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του τέσσερα) έχει καθοριστικό ρόλο στην εφαρμογή των θεωρητικών Μαθηματικών στην επιστήμη και στην τεχνολογία. Τελειώνοντας αναφέρουμε ότι συχνά η Αριθμητική Ανάλυση καλείται και ως «τα Μαθηματικά του επιστημονικού υπολογισμού» (Mathematics of scientific computing).

  2. Στόχος του μαθήματος: Το μάθημα της «Αριθμητικής Ανάλυσης ΙΙ» αποτελεί συνέχεια του Υποχρεωτικού Μαθήματος Κορμού «Αριθμητική Ανάλυση I» (Μάθημα 3ου Εξάμηνου – Χειμερινό) του Τμήματος Μαθηματικών. Στόχος του μαθήματος της «Αριθμητικής Ανάλυσης ΙΙ» είναι αφ' ενός να συμπληρώσει τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στο μάθημα «Αριθμητική Ανάλυση I» και αφ΄ ετέρου να επεκτείνει σε πολλές διαστάσεις θεμελιώδεις έννοιες όπως οι μη–γραμμικές εξισώσεις και τα σταθερά σημεία συναρτήσεων καθώς και να γενικεύσει κλασικές επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων σε αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων κατάλληλων να αντιμετωπίσουν προβλήματα μεγάλων διαστάσεων. Επίσης στόχος του μαθήματος είναι να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές μέθοδοι για την αριθμητική βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.

  3. Θεματικές ενότητες του μαθήματος: Οι θεματικές ενότητες είναι οι ακόλουθες:
    1. Βασικές έννοιες: Θα μελετήσουμε την ανάγκη και τη χρησιμότητα της αριθμητικής ανάλυσης σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ακόμα, θα παραθέσουμε βασικές έννοιες της αριθμητικής ανάλυσης καθώς επίσης και έννοιες για την συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού προσεγγιστικών λύσεων.
    2. Ρίζες μη–γραμμικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η γενίκευση μεθόδων εύρεσης ριζών συναρτήσεων μιας μεταβλητής στις αντίστοιχες μεθόδους εύρεσης ριζών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις μιας μεταβλητής και ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες γενικευμένες αριθμητικές μεθόδους. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των γενικευμένων μεθόδων και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητά τους. Τέλος θα μελετήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης όλων των ριζών μη–γραμμικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής καθώς και μη–γραμμικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
    3. Σταθερά σημεία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η μελέτη σταθερών σημείων συναρτήσεων μιας μεταβλητής καθώς και συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις μιας μεταβλητής και ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Επίσης θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των σταθερών σημείων στην επιστήμη και τεχνολογία. Τέλος θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητα των αριθμητικών μεθόδων για τον υπολογισμό σταθερών σημείων.
    4. Γενίκευση επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η γενίκευση επαναληπτικών μεθόδων αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων στις αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων. Θα μελετήσουμε επαναληπτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων και θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των γενικευμένων μεθόδων εστιάζοντας στην ικανότητά τους να επιλύουν συστήματα μεγάλου πλήθους μη–γραμμικών εξισώσεων και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητά τους.
    5. Αριθμητική βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές αριθμητικές μέθοδοι για τη βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα της βελτιστοποίησης στην επιστήμη και τεχνολογία. Ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους βελτιστοποίησης και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητα τους. Επίσης θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους ευρείας σύγκλισης δηλαδή μεθόδους οι οποίες συγκλίνουν στο τοπικό βελτιστοποιητή ακόμα και για αρχικές τιμές που βρίσκονται μακριά από αυτόν. Τέλος θα αναφερθούμε στο πρόβλημα της καθολικής (ολικής) βελτιστοποίησης καθώς και πως αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί.
  4. Φροντιστήρια και εργαστήρια του μαθήματος: Τα φροντιστήρια και εργαστήρια στοχεύουν στην ενίσχυση των γνώσεων και των δεξιοτήτων καθώς και στην απόκτηση ευχέρειας σε έννοιες που σχετίζονται με το μάθημα. Αυτό επιτυγχάνεται με την υποδειγματική επίλυση πολλών ασκήσεων καθώς και με εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης σε υπολογιστή, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών Matlab. Για τον σκοπό αυτό παρέχονται επιπλέον προαιρετικά εισαγωγικά μαθήματα στο Matlab. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζεται μια εισαγωγή για τις δυνατότητες που μας προσφέρει το Matlab εστιάζοντας τόσο στην ευκολία που μας παρέχει με το χειρισμό μητρώων όσο και στις απεικονιστικές του δυνατότητες. Ακολούθως, δίνεται μια εισαγωγή στις επαναληπτικές δομές καθώς και στις δομές ελέγχου με προοπτική την χρήση τους στις αριθμητικές μεθόδους που θα υλοποιηθούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Κύριος στόχος του εργαστηρίου είναι η συστηματική προσέγγιση και κατάρτιση καθώς και η καλλιέργεια στους φοιτητές και στις φοιτήτριες της ικανότητας σύλληψης και απόδοσης των εννοιών του μαθήματος. Τα εργαστηριακά μαθήματα πραγματοποιούνται στην αίθουσα 035 στο χώρο του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Εφαρμογών το οποίο λειτουργεί στις αίθουσες 035, 036, 037, 038, 039, 040 του κτιρίου Βιολογίας/Μαθηματικών με ώρες λειτουργίας 9:00–19:00, κατά τις εργάσιμες ημέρες.

  5. Συμμετοχή στην τάξη και παρακολουθήσεις: Παρ’ ότι η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική η συμμετοχή στις παραδόσεις είναι σίγουρα σημαντική και καθοριστική διότι η διδασκαλία αποτελεί μια δυναμική διαδικασία η οποία, με βάση τα πλαίσια της διδακτέας ύλης, προσαρμόζεται σύμφωνα με τις ερωτήσεις και απορίες των συμμετεχόντων φοιτητών και φοιτητριών. Έτσι στις παραδόσεις παρέχονται επιπλέον πληροφορίες και γι’ αυτό παροτρύνουμε τους συμμετέχοντες φοιτητές και φοιτήτριες να κρατούν σχολαστικά σημειώσεις οι οποίες θα τους βοηθήσουν στην μελέτη τους. Επίσης τους παροτρύνουμε να συμμετέχουν στα παρεχόμενα φροντιστήρια και εργαστήρια διότι έτσι θα ενισχυθούν οι γνώσεις τους στις έννοιες του μαθήματος καθώς και οι δεξιότητες τους στην υλοποίηση των μεθόδων με τις προαιρετικές εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών Matlab.