B. Περίγραμμα του Μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση ΙΙ»
-
Η έννοια και η σημασία της αριθμητικής ανάλυσης:
Οι αρχαίοι Έλληνες με τον όρο «αριθμητική» εννοούσαν
σπουδές στις μαθηματικές ιδιότητες των αριθμών. Με την αριθμητική
ασχολούνταν κυρίως οι φιλόσοφοι.
Η σημασία και η σπουδαιότητα που
έδιναν οι αρχαίοι Έλληνες τόσο στην έννοια του «αριθμού» όσο και
στην «ενασχόληση με τους αριθμούς» ήταν μεγάλη. Αυτό καταδεικνύεται
σε διάφορα γνωμικά που μας έχουν αφήσει κληρονομιά επιφανείς
πρόγονοί μας. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ο
Πλάτων
(427–347 π.Χ.) στους
«Νόμους
747β,1–5» είπε:
«Διότι και για την οικονομία και για την πολιτεία και για όλες τις τέχνες κανένα άλλο μάθημα δεν έχει τόσο μεγάλη εκπαιδευτική δύναμη όσο η ενασχόληση με τους αριθμούς. Το δε μέγιστον είναι ότι τον νυστάζοντα και εκ φύσεως αμαθή τον διεγείρει και τον καθιστά ευμαθή και μνημονικόν και οξύνουν».
«Αφού δεν έχουμε πλέον τίποτε εκτός από αυτά, ας λάβουμε, λέω, κανένα από τα γενικά μαθήματα. Να αυτό (...) που το χρησιμοποιούν όλες οι τέχνες και οι επιστήμες και οι διάνοιες (...) και το ονομάζω με γενικό όνομα «αριθμητική» ή δεν είναι αλήθεια ότι κάθε τέχνη και επιστήμη είναι αναγκασμένη να προσφεύγει σ' αυτό;
Μου φαίνεται πως είναι (αυτό το μάθημα) από εκείνα που ζητάμε και πως έχει την ιδιότητα να ανυψώνει την ψυχή στην καθαρή νόηση και να την ελκύει προς τη θεωρία του καθ' αυτό όντος, αν και κανείς δεν ξέρει να το μεταχειρίζεται σωστά.
— Ώστε η αριθμητική οδηγεί στην αλήθεια ...
— Θα είναι λοιπόν από εκείνα τα μαθήματα που ζητούσαμε να είναι πράγματι απαραίτητα στο μαθηματικό γιατί πρέπει να ξέρει από κείνα που είναι επιδεκτικά γενέσεως και φθοράς και να ανυψωθεί στην ουσία των πραγμάτων, άλλως ουδέποτε θα γίνει αληθινός μαθηματικός.
— Πρέπει με νόμο να θεσπίσουμε αυτό το μάθημα και να υποχρεώσουμε τους μέλλοντες να πάρουν τα ανώτατα αξιώματα στην πολιτεία μας να επιδίδονται στην αριθμητική όχι επιπόλαια, αλλά μέχρι του βαθμού να είναι ικανοί με την καθαρή νόηση να γνωρίζουν αυτή τη φύση και την ουσία των αριθμών, όχι για να τη χρησιμοποιούν βέβαια, όπως οι έμποροι και οι μεταπράτες στις δοσοληψίες τους, αλλά για να διευκολύνουν την ψυχή να γυρίζει από τα φθαρτά στην αλήθεια και την ουσία των όντων.
— Βλέπουμε λοιπόν, ότι πραγματικά μας είναι απαραίτητο το μάθημα αυτό, αφού φαίνεται ότι αναγκάζει την ψυχή να μεταχειριστεί τη νόηση για να γνωρίζει την αλήθεια.
— ... η επιστήμη αυτή της αριθμητικής ολόκληρη δεν έχει άλλο αντικείμενο, παρά τη γνώση του αιωνίως όντος».
«Οι αριθμοί καθορίζουν την τάξη και την αρμονία στο σύμπαν».
«Τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων»,
«Η αριθμητική αποτελεί την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής».
« ... και βρήκα γι' αυτούς (τους ανθρώπους) τον αριθμό που αποτελεί το εξοχότερο των επινοημάτων».
«Πραγματικά, το καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν αριθμό. Αλλιώς, θα ήταν αδύνατο να το γνωρίζουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική. Το «Ένα» είναι η αρχή του παντός».
«Τα Μαθηματικά είναι η λογιστική των αναπόδραστων συμπερασμάτων».
«Ανοησία είναι να προσδοκάς καλύτερα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας πάντα την ίδια μέθοδο».
«Ένα σωστά ορισμένο πρόβλημα έχει ήδη επιλυθεί κατά το ήμισυ»,
«Η σωστή λύση ενός λανθασμένα ορισμένου προβλήματος είναι εξίσου μη αποδεκτή με τη λανθασμένη λύση του σωστά ορισμένου προβλήματος». - Στόχος του μαθήματος: Το μάθημα της «Αριθμητικής Ανάλυσης ΙΙ» αποτελεί συνέχεια του Υποχρεωτικού Μαθήματος Κορμού «Αριθμητική Ανάλυση I» (Μάθημα 3ου Εξάμηνου – Χειμερινό) του Τμήματος Μαθηματικών. Στόχος του μαθήματος της «Αριθμητικής Ανάλυσης ΙΙ» είναι αφ' ενός να συμπληρώσει τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στο μάθημα «Αριθμητική Ανάλυση I» και αφ΄ ετέρου να επεκτείνει σε πολλές διαστάσεις θεμελιώδεις έννοιες όπως οι μη–γραμμικές εξισώσεις και τα σταθερά σημεία συναρτήσεων καθώς και να γενικεύσει κλασικές επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων σε αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων κατάλληλων να αντιμετωπίσουν προβλήματα μεγάλων διαστάσεων. Επίσης στόχος του μαθήματος είναι να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές μέθοδοι για την αριθμητική βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
-
Θεματικές ενότητες του μαθήματος: Οι θεματικές ενότητες είναι οι ακόλουθες:
- Βασικές έννοιες: Θα μελετήσουμε την ανάγκη και τη χρησιμότητα της αριθμητικής ανάλυσης σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ακόμα, θα παραθέσουμε βασικές έννοιες της αριθμητικής ανάλυσης καθώς επίσης και έννοιες για την συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού προσεγγιστικών λύσεων.
- Ρίζες μη–γραμμικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η γενίκευση μεθόδων εύρεσης ριζών συναρτήσεων μιας μεταβλητής στις αντίστοιχες μεθόδους εύρεσης ριζών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις μιας μεταβλητής και ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες γενικευμένες αριθμητικές μεθόδους. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των γενικευμένων μεθόδων και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητά τους. Τέλος θα μελετήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης όλων των ριζών μη–γραμμικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής καθώς και μη–γραμμικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
- Σταθερά σημεία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η μελέτη σταθερών σημείων συναρτήσεων μιας μεταβλητής καθώς και συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις μιας μεταβλητής και ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες αριθμητικές μεθόδους για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Επίσης θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των σταθερών σημείων στην επιστήμη και τεχνολογία. Τέλος θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητα των αριθμητικών μεθόδων για τον υπολογισμό σταθερών σημείων.
- Γενίκευση επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η γενίκευση επαναληπτικών μεθόδων αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων στις αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων. Θα μελετήσουμε επαναληπτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης γραμμικών συστημάτων και θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε τις αντίστοιχες μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα των γενικευμένων μεθόδων εστιάζοντας στην ικανότητά τους να επιλύουν συστήματα μεγάλου πλήθους μη–γραμμικών εξισώσεων και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητά τους.
- Αριθμητική βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές αριθμητικές μέθοδοι για τη βελτιστοποίηση αντικειμενικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα της βελτιστοποίησης στην επιστήμη και τεχνολογία. Ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους βελτιστοποίησης και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητα τους. Επίσης θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους ευρείας σύγκλισης δηλαδή μεθόδους οι οποίες συγκλίνουν στο τοπικό βελτιστοποιητή ακόμα και για αρχικές τιμές που βρίσκονται μακριά από αυτόν. Τέλος θα αναφερθούμε στο πρόβλημα της καθολικής (ολικής) βελτιστοποίησης καθώς και πως αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί.
- Φροντιστήρια και εργαστήρια του μαθήματος: Τα φροντιστήρια και εργαστήρια στοχεύουν στην ενίσχυση των γνώσεων και των δεξιοτήτων καθώς και στην απόκτηση ευχέρειας σε έννοιες που σχετίζονται με το μάθημα. Αυτό επιτυγχάνεται με την υποδειγματική επίλυση πολλών ασκήσεων καθώς και με εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης σε υπολογιστή, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave. Για τον σκοπό αυτό παρέχονται επιπλέον προαιρετικά εισαγωγικά μαθήματα στο MATLAB/Octave. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζεται μια εισαγωγή για τις δυνατότητες που μας προσφέρει το MATLAB/Octave εστιάζοντας τόσο στην ευκολία που μας παρέχει με το χειρισμό μητρώων όσο και στις απεικονιστικές του δυνατότητες. Ακολούθως, δίνεται μια εισαγωγή στις επαναληπτικές δομές καθώς και στις δομές ελέγχου με προοπτική την χρήση τους στις αριθμητικές μεθόδους που θα υλοποιηθούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Κύριος στόχος του εργαστηρίου είναι η συστηματική προσέγγιση και κατάρτιση καθώς και η καλλιέργεια στους φοιτητές και στις φοιτήτριες της ικανότητας σύλληψης και απόδοσης των εννοιών του μαθήματος. Τα εργαστηριακά μαθήματα πραγματοποιούνται στην αίθουσα 035 στο χώρο του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών το οποίο λειτουργεί στις αίθουσες 035, 036, 037, 038, 039, 040, 044, 015, 145 του κτηρίου Βιολογίας/Μαθηματικών με ώρες λειτουργίας 9:00–20:00, κατά τις εργάσιμες ημέρες. Κάθε Χρήστης που χρησιμοποιεί τους χώρους και τα συστήματα που ελέγχει το Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών θα πρέπει να γνωρίζει και να τηρεί τον Κανονισμό του Εργαστηρίου.
- Συμμετοχή στην τάξη και παρακολουθήσεις: Παρ’ ότι η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική η συμμετοχή στις παραδόσεις είναι σίγουρα σημαντική και καθοριστική διότι η διδασκαλία αποτελεί μια δυναμική διαδικασία η οποία, με βάση τα πλαίσια της διδακτέας ύλης, προσαρμόζεται σύμφωνα με τις ερωτήσεις και απορίες των συμμετεχόντων φοιτητών και φοιτητριών. Έτσι στις παραδόσεις παρέχονται επιπλέον πληροφορίες και γι’ αυτό παροτρύνουμε τους συμμετέχοντες φοιτητές και φοιτήτριες να κρατούν σχολαστικά σημειώσεις οι οποίες θα τους βοηθήσουν στην μελέτη τους. Επίσης τους παροτρύνουμε να συμμετέχουν στα παρεχόμενα φροντιστήρια και εργαστήρια διότι έτσι θα ενισχυθούν οι γνώσεις τους στις έννοιες του μαθήματος καθώς και οι δεξιότητες τους στην υλοποίηση των μεθόδων με τις προαιρετικές εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave.