B. Περίγραμμα του Μαθήματος «Αριθμητική Επίλυση Υπερβατικών Εξισώσεων»

1. Η έννοια της υπερβατικής εξίσωσης και η σημασία της αριθμητικής επίλυσης της: Οι υπερβατικές εξισώσεις (transcendental equations) συσχετίζονται με προβλήματα που έχουν διατυπωθεί από τους αρχαίους Έλληνες. Συγκεκριμένα, τον 5ο αιώνα π.Χ. διατυπώθηκαν στην αρχαία Ελλάδα τα παρακάτω τρία προβλήματα, τα οποία απασχόλησαν σχεδόν όλους τους γεωμέτρες της αρχαιότητας και η αναζήτηση των λύσεών τους οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη των μαθηματικών:
   1. Ο διπλασιασμός του κύβου ή το Δήλιο πρόβλημα (doubling the cube or Delian problem): «Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη (compass and straightedge construction) κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύβου». Το πρόβλημα αυτό απαιτεί την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός ευθύγραμμου τμήματος του οποίου το μήκος είναι ο μη–κατασκευάσιμος αριθμός κυβική ρίζα του 2.
   2. Η τριχοτόμηση γωνίας (angle trisection): «Να χωριστεί με κανόνα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη». Το πρόβλημα αυτό απαιτεί την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός ευθύγραμμου τμήματος του οποίου το μήκος είναι ένας μη–κατασκευάσιμος αριθμός αφού πρέπει να αποτελεί ρίζα μιας κυβικής εξίσωσης.
   3. Ο τετραγωνισμός του κύκλου (squaring the circle): «Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό δοθέντος κύκλου». Το πρόβλημα αυτό απαιτεί την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός ευθύγραμμου τμήματος του οποίου το μήκος είναι ο μη–κατασκευάσιμος αριθμός τετραγωνική ρίζα του π.
   Τα προβλήματα αυτά ήταν ευρέως γνωστά στους αρχαίους Έλληνες όπως φαίνεται από τις αναφορές που υπάρχουν γι' αυτά σε τουλάχιστον δύο θεατρικά έργα της εποχής. Συγκεκριμένα, ο Ευριπίδης (485|480–406 π.Χ.) αναφέρει το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, ενώ ο Αριστοφάνης (περίπου 455|450–386|385 π.Χ.) αναφέρει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου στο έργο του «Όρνιθες» (κωμωδία, 414 π.Χ.). Αξίζει να επισημάνουμε ότι και τα τρία παραπάνω προβλήματα δεν είναι επιλύσιμα με τα μέσα που ορίζονται στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», δηλαδή με κανόνα και διαβήτη. Επίσης, θεωρούνται ως τα τρία πρώτα μη επιλύσιμα μαθηματικά προβλήματα της ανθρωπότητας και, γενικά, έχουν καταστεί συνώνυμα του «να επιδιώκει κανείς το ακατόρθωτο». Η δυσκολία των παραπάνω προβλημάτων συνίσταται σε δύο περιορισμούς που είχαν θέσει για την επίλυσή τους οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί. Συγκεκριμένα, για να θεωρηθεί αποδεκτή μια λύση θα πρέπει σε αυτήν:
   1. Να χρησιμοποιηθεί μόνο κανόνας και διαβήτης, προκειμένου η κατασκευή να ανάγεται πλήρως στα αξιώματα των «Στοιχείων του Ευκλείδη», και συγκεκριμένα στα πρώτα τρία από τα πέντε αξιώματα. Με άλλα λόγια, ο κανόνας μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για να συνδεθούν δύο σημεία ή να επεκταθεί μια ευθεία γραμμή ενώ ο διαβήτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για την κατασκευή ενός κύκλου του οποίου είναι γνωστό το κέντρο και ένα σημείο της περιφέρειάς του, και
   2. Η επίτευξή της να μην απαιτεί άπειρο αριθμό βημάτων.
   Οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν χωρίς επιτυχία να επιλύσουν τα παραπάνω προβλήματα με κανόνα με διαβήτη. Όμως, έδωσαν κατά καιρούς μη αποδεκτές λύσεις χωρίς κανόνα και διαβήτη. Αναφορικά με αυτό χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ο Αριστοτέλης (384–322 π.Χ.) σχολιάζοντας τις προτάσεις του Αντιφώντα του Αθηναίου (περίπου το 430 π.Χ.) και του Βρύσωνα του Ηρακλειώτη (400–300 π.Χ.) για την επίλυση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου είπε ότι είναι:

   
   «Ανάξιαι συζητήσεων ως αντικείμεναι προς τα αρχάς της γεωμετρίας».

   Από τότε που τέθηκαν τα παραπάνω προβλήματα, πέρασαν περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια ώσπου οι μαθηματικοί να καταφέρουν να αποδείξουν ότι τα προβλήματα αυτά δεν είναι επιλύσιμα με κανόνα και διαβήτη. Συγκεκριμένα, η απόδειξη της αδυναμίας επίλυσης με κανόνα και διαβήτη του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου καθώς και του προβλήματος της τριχοτόμησης της γωνίας δόθηκε με χρήση της θεωρίας Galois από τον Γάλλο μαθηματικό Pierre Laurent Wantzel (1814–1848) το 1837 στην εργασία του “Wantzel M.L., Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2), pp.366–372, 1837”. ενώ του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852–1939) το 1882 στην εργασία του “Lindemann F., Über die Zahl π, Mathematische Annalen, 20, pp.213–225, 1882”, στην οποία απέδειξε ότι ο αριθμός π (που εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο του) είναι υπερβατικός αριθμός. Η απόδειξη του von Lindemann βασίστηκε στην απόδειξη, που είχε δώσει εννέα χρόνια νωρίτερα ο Γάλλος μαθηματικός Charles Hermite (1822–1901), ότι ο αριθμός e (η βάση των φυσικών ή Νεπέριων λογαρίθμων) είναι υπερβατικός αριθμός. Μια πιο απλοποιημένη απόδειξη για την υπερβατικότητα των αριθμών e και π δόθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό και διδακτορικό φοιτητή του von Lindemann David Hilbert (1862–1943), το 1893 στην εργασία του “Hilbert D., Über die Transcendenz der Zahlen e und π, Mathematische Annalen, 43, pp.216–219, 1893”. Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφέρουμε ότι μια γεωμετρική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ισοδυναμεί με κατασκευή μόνο με διαβήτη. Αυτό βεβαιώνεται από το θεώρημα Mohr–Mascheroni (Mohr–Mascheroni theorem). Πιο συγκεκριμένα, ο Δανός μαθηματικός Jørgen Mohr (1640–1697), στο βιβλίο του “Mohr J., Euclides Danicus, Jacob van Velsen, Amsterdam, 1672”, απέδειξε ότι:

   
   «Οποιαδήποτε γεωμετρική κατασκευή που μπορεί να γίνει με κανόνα και διαβήτη μπορεί επίσης να γίνει μόνο με διαβήτη».

   Ο Mohr δημοσίευσε το βιβλίο του ταυτόχρονα στα Δανέζικα και στα Ολλανδικά. Δυστυχώς, το βιβλίο αυτό καθώς και το αντίστοιχο αποτέλεσμα δεν έγιναν προσιτά στο ευρύτερο επιστημονικό κοινό, διότι την εποχή εκείνη η διαδεδομένη γλώσσα δημοσίευσης επιστημονικών εργασιών ήταν τα Λατινικά. Έτσι, το βιβλίο του Mohr αγνοήθηκε από την επιστημονική κοινότητα για περισσότερο από 250 χρόνια, μέχρι το 1928, όταν ένας νεαρός φοιτητής των μαθηματικών βρήκε ένα μεταχειρισμένο αντίγραφο σε ένα βιβλιοπωλείο στην Κοπεγχάγη. Αυτό είχε ως επακόλουθο την επίτευξη της αναγνώρισης του Mohr σχετικά με αυτό το σημαντικό αποτέλεσμα. Εργαζόμενος ανεξάρτητα από τον Mohr, ο Ιταλός μαθηματικός Lorenzo Mascheroni (1750–1800), στο βιβλίο του “Mascheroni L., Geometria del Compasso, Pietro Galeazzi, Pavia, 1797”, απέδειξε το ίδιο θεώρημα περισσότερο από εκατό χρόνια αργότερα. Η επιστημονική κοινότητα για να τιμήσει και τους δύο αυτούς μαθηματικούς έχει ονομάσει το αποτέλεσμα των εργασιών τους ως θεώρημα Mohr–Mascheroni. Μια πρόσφατη, απλή και σύντομη απόδειξη του θεωρήματος Mohr–Mascheroni υπάρχει στην εργασία “Hungerbühler N., A short elementary proof of the Mohr–Mascheroni theorem, American Mathematical Monthly, 101(8), pp.784–787, 1994”. Αξίζει να αναφέρουμε ότι το βιβλίο του Mascheroni είχε κεντρίσει την προσοχή του Ναπολέοντος Βοναπάρτη όταν είχε βρεθεί στην Ιταλία. Μετά την επιστροφή του στη Γαλλία, ο Βοναπάρτης παρευρέθη σε μια συνεδρίαση της Γαλλικής Ακαδημίας όπου επικέντρωσε τη συζήτηση στο έργο του Mascheroni και παρουσίασε διάφορες κατασκευές. Η παρουσίαση αυτή του Ναπολέοντος εντυπωσίασε μεταξύ των άλλων και τον παρευρισκόμενο καθηγητή του στη Στρατιωτική Ακαδημία της Brienne–le–Château Γάλλο μαθηματικό Pierre–Simon Laplace (1749–1827).
   
   Στη συνέχεια δίνουμε μερικές βασικές έννοιες που αφορούν τους αλγεβρικούς και τους υπερβατικούς αριθμούς καθώς και τις αλγεβρικές και υπερβατικές εξισώσεις. Ένας αριθμός α ονομάζεται αλγεβρικός αριθμός (algebraic number), αν αποτελεί ρίζα ενός πολυωνύμου P(x) του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί (δηλαδή μπορούν να γραφούν ως κλάσμα δύο ακεραίων αριθμών). Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών με τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αποτελεί σώμα (field). Ο βαθμός του πολυωνύμου, του οποίου ο αλγεβρικός αριθμός α αποτελεί ρίζα, ονομάζεται βαθμός (degree) του αλγεβρικού αριθμού α. Η πολυωνυμική εξίσωση P(x)=0 ονομάζεται ελαχιστοτική εξίσωση (minimal equation) του αλγεβρικού αριθμού α, αν ο α δεν μπορεί να αποτελέσει λύση μιας τέτοιας εξίσωσης με μικρότερο βαθμό. Για παράδειγμα, οι ρητοί είναι αλγεβρικοί αριθμοί βαθμού ένα. Ένας αλγεβρικός αριθμός με βαθμό μεγαλύτερο από ένα είναι άρρητος. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι αλγεβρικός αριθμός βαθμού δύο. Γενικά, κατασκευάσιμοι αριθμοί (constructible numbers) είναι εκείνοι οι οποίοι, δοθείσης μιας μονάδας μήκους, μπορούν να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη (ή ισοδύναμα σύμφωνα με το θεώρημα Mohr–Mascheroni μόνο με διαβήτη). Το σύνολο των κατασκευάσιμων αριθμών περιλαμβάνει όλους τους ρητούς, όλους τους τετραγωνικούς άρρητους (αλγεβρικούς αριθμούς βαθμού δύο), καθώς και όλους τους αριθμούς που μπορούν να σχηματιστούν από αυτούς χρησιμοποιώντας τις βασικές πράξεις της αριθμητικής (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση) και την εξαγωγή τετραγωνικών ριζών. Όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί αριθμοί. Κατασκευάσιμοι θεωρούνται και οι μιγαδικοί αριθμοί με κατασκευάσιμο πραγματικό και φανταστικό μέρος στο αντίστοιχο σύστημα συντεταγμένων. Αν ένας αριθμός δεν μπορεί να αποτελέσει ρίζα για κανένα πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές είναι ακέραιοι ή ρητοί αριθμοί, τότε ο αριθμός αυτός ονομάζεται υπερβατικός (transcendental). Οι υπερβατικοί αριθμοί έχουν προσελκύσει την προσοχή των σημαντικότερων μαθηματικών για 300 και πλέον χρόνια. Καταρχάς, η ονομασία υπερβατικός χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1682 από τον Γερμανό μαθηματικό Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) σε μια εργασία του στην οποία απέδειξε ότι η συνάρτηση sin(x) δεν είναι αλγεβρική συνάρτηση του x. Συγκεκριμένα για τους υπερβατικούς αριθμούς ανέφερε:

   
   “Omnem rationem transcendunt”,

   δηλαδή οι αριθμοί αυτοί υπερβαίνουν κάθε (ανθρώπινη) λογική. Ο Leibniz χρησιμοποιούσε συνειδητά τον όρο «υπερβατικός» και σε άλλες περιπτώσεις, όπως υπερβατικές καμπύλες, υπερβατικές μέθοδοι κ.λπ., έχοντας κατά νου την υπερβατικότητα του Θεού σε σχέση με τα ανθρώπινα, κάτι που επίσης ενέπνευσε και τον τον Γερμανό μαθηματικό Georg Cantor (1845–1918). Άλλωστε τα μαθηματικά πραγματεύονται τον κόσμο των ιδεών που υπερβαίνουν τον πραγματικό κόσμο. Επίσης, αναφορικά με τους υπερβατικούς αριθμούς, ο Ελβετός μαθηματικός και φυσικός Leonhard Euler (1707–1783), το 1746 στο βιβλίο του “Introductio in analysin infinitorum” (το οποίο μετά τα «Στοιχεία του Ευκλείδη» θεωρείται ως το διασημότερο επιστημονικό βιβλίο που γράφτηκε ποτέ) έγραφε:

   
   «Οι αριθμοί αυτοί (οι υπερβατικοί), των οποίων η φύση δύσκολα γίνεται αντιληπτή, δεν περιγράφονται με αλγεβρικές μεθόδους».

   Ακόμη, αξίζει να αναφέρουμε ότι ο Euler το 1737 είχε αποδείξει ότι ο αριθμός e καθώς και το τετράγωνό του είναι άρρητοι αριθμοί. Ενώ την αρρητότητα του π την απέδειξε το 1766 ο Ελβετός μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος Johann Heinrich Lambert (1728–1777). Σημαντικός σταθμός στη μελέτη των υπερβατικών αριθμών ήταν το 1874, επειδή τότε ο Georg Cantor έδωσε μια επαναστατική απόδειξη της ύπαρξης υπερβατικών αριθμών, χωρίς όμως να κατασκευάσει κανέναν τέτοιον αριθμό. Η απόδειξή του χρησιμοποιούσε συνολοθεωρητικές μεθόδους και αποτέλεσε έναν από τους πρώτους θριάμβους της Καντοριανής θεωρίας των απείρων πληθαρίθμων. Επίσης, αξίζει να αναφέρουμε πως το 1873 ο Georg Cantor είχε αποδείξει ότι οι ρητοί αριθμοί είναι απαριθμητοί (countable), δηλαδή μπορούν να τεθούν σε μία αντιστοιχία «ένα προς ένα» με τους φυσικούς αριθμούς. Το 1874 έδειξε ότι, υπό κάποια έννοια, «σχεδόν όλοι» οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί, αποδεικνύοντας ότι οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι απαριθμητοί (uncountable), ενώ είχε αποδείξει ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι απαριθμητοί (countable). Γενικά, η απόδειξη ότι ένας αριθμός είναι υπερβατικός αποτελεί ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι το έβδομο από τα είκοσι τρία προβλήματα του Hilbert (Hilbert's problems) που έθεσε το 1900 σε ηλικία 28 ετών ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert (1862–1943), στο περίφημο συνέδριο μαθηματικών που έλαβε χώρα στο Παρίσι, αναφέρεται στη δυσκολία των αποδείξεων ότι διάφοροι αριθμοί είναι υπερβατικοί αριθμοί. Συγκεκριμένα, ο Hilbert δήλωσε ότι αποτελεί πολύ δύσκολο πρόβλημα να αποδειχθεί ότι:

   
   «Αν ένας αλγεβρικός αριθμός (διάφορος από το 0 ή το 1) υψωθεί σε έναν αλγεβρικό άρρητο τότε το αποτέλεσμα είναι υπερβατικός αριθμός».

   Για παράδειγμα αν ο 2 υψωθεί στην τετραγωνική ρίζα του 2 τότε το αποτέλεσμα είναι υπερβατικός αριθμός που ονομάζεται αριθμός του Hilbert (Hilbert's number) ή σταθερά Gelfond–Schneider (Gelfond–Schneider constant). Η καταφατική απάντηση στο έβδομο πρόβλημα του Hilbert δόθηκε το 1934 από το θεώρημα Gelfond–Schneider (Gelfond–Schneider theorem) που οφείλεται στον Σοβιετικό μαθηματικό Alexander Osipovich Gelfond (1906–1968) και στον Γερμανό μαθηματικό Theodor Schneider (1911–1988).
   
   Αλγεβρική εξίσωση (algebraic equation) ή πολυωνυμική εξίσωση (polynomial equation) είναι μια εξίσωση της μορφής P = Q όπου P και Q είναι πολυώνυμα με συντελεστές σε κάποιο σώμα. Η επίλυση της εξίσωσης αυτής συνίσταται στην εύρεση ενός αριθμού που να την επαληθεύει. Αλγεβρική συνάρτηση (algebraic function) είναι γενικά μια πλειότιμη συνάρτηση που πληροί μια πολυωνυμική εξίσωση της οποίας οι συντελεστές είναι πολυώνυμα με ρητούς συντελεστές. Η έννοια της αλγεβρικής συνάρτησης πρωτοεμφανίστηκε στην εποχή του Γάλλου μαθηματικού και φιλοσόφου René Descartes (1596–1650) ενώ μια πρώτη ανάλυση της αλγεβρικής συνάρτησης έγινε το 1794 στο δοκίμιο “An essay on the principles of human knowledge” του Άγγλου μαθηματικού Edward Waring (1736–1798). Υπερβατική συνάρτηση (transcendental function) είναι εκείνη η συνάρτηση που δεν πληροί καμία πολυωνυμική εξίσωση της οποίας οι συντελεστές είναι πολυώνυμα. Παραδείγματα υπερβατικών συναρτήσεων αποτελούν οι τριγωνομετρικές, οι λογαριθμικές και οι εκθετικές συναρτήσεις. Σε αντίθεση με την αλγεβρική εξίσωση, υπερβατική εξίσωση (transcendental equation) είναι μια εξίσωση που δεν περιέχει μόνο αλγεβρικές εκφράσεις των μεταβλητών της. Έτσι, οι υπερβατικές εξισώσεις μπορούν να περιέχουν όρους που περιλαμβάνουν, μεταξύ των άλλων, τριγωνομετρικές συναρτήσεις όπως οι sin, cos, tan, κ.λπ. ή και λογαριθμικές και εκθετικές συναρτήσεις. Ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων (system of algebraic equations) είναι μια συλλογή από αλγεβρικές εξισώσεις που έχουν κοινό σύνολο μεταβλητών. Αν οι εξισώσεις είναι υπερβατικές, τότε η αντίστοιχη συλλογή ονομάζεται σύστημα υπερβατικών εξισώσεων (system of transcendental equations). Λύση (solution) ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων ή ενός συστήματος υπερβατικών εξισώσεων αποτελεί εκείνο το σύνολο των μεταβλητών που πληροί όλες τις εξισώσεις τού αντίστοιχου συστήματος. Το πρόβλημα της αριθμητικής επίλυσης ενός συστήματος μη–γραμμικών αλγεβρικών ή και υπερβατικών εξισώσεων (system of non–linear algebraic or/and transcendental equations) αποτελεί ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα των υπολογιστικών μαθηματικών. Ωστόσο, το πρόβλημα αυτό παρουσιάζεται συχνά σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, όπως: μαθηματικά, φυσικές επιστήμες, οικονομικές επιστήμες, ιατρική, στατιστική, επιχειρησιακή έρευνα, διοίκηση επιχειρήσεων, ανάλυση συστημάτων, επιστήμη των υπολογιστών κ.ά. Όταν έχουμε στη διάθεσή μας μεθόδους επίλυσης συστημάτων μη–γραμμικών εξισώσεων, είμαστε σε θέση να αντιμετωπίσουμε πολλά προβλήματα στα οποία συμπεριλαμβάνονται ενδεικτικά τα εξής:
   1. Εύρεση των σταθερών σημείων (fixed points) μιας συνάρτησης.
   2. Προβλήματα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης (function minimization),
   3. Μη–γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα (non–linear least squares).
   4. Εκπαίδευση τεχνητών νευρωνικών δικτύων (artificial neural networks training).
   5. Εύρεση σημείων ισορροπίας (equilibrium points) συστημάτων διαφορικών εξισώσεων.
   6. Εύρεση περιοδικών τροχιών (periodic orbits) μη–γραμμικών απεικονίσεων δυναμικών συστημάτων, κ.ά.
   Επειδή σπανίως τα συστήματα μη–γραμμικών αλγεβρικών ή και υπερβατικών εξισώσεων είναι δυνατό να επιλυθούν αναλυτικά, η επίλυσή τους με προσεγγιστικές μεθόδους αποτελεί έναν σημαντικό κλάδο της Αριθμητικής Ανάλυσης. Η ερευνητική δραστηριότητα και ανάπτυξη των μεθόδων αυτών παραμένει αμείωτη μέχρι τις μέρες μας.
   
   Η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων αφορά στην αριθμητική ανάλυση των υπερβατικών εξισώσεων καθώς και των συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων. Έτσι, μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που ασχολείται με την διακριτοποίηση «συνεχών» προβλημάτων των Υπερβατικών Εξισώσεων, των οποίων τη λύση θέλουμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο (algorithm) (δηλαδή μια πεπερασμένη συνεχή αλληλουχία από αυστηρά καθορισμένες και εκτελέσιμες μία προς μία σε πεπερασμένο χρόνο εντολές που έχει αρχή και τέλος και στοχεύει στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος) και κατ’ επέκταση την υλοποίηση του αλγορίθμου με ένα πρόγραμμα (program) στον υπολογιστή (computer) (δηλαδή σε αυτόν που πραγματοποιεί διαδικασίες υπολογισμού). Ο Ούγγρος μαθηματικός John Louis von Neumann (1903–1957), το 1945 έδωσε για το πρόγραμμα ένα γενικό ορισμό σύμφωνα με τον οποίο «το πρόγραμμα αποτελείται από μια συνεχή αλληλουχία εντολών τις οποίες ο υπολογιστής καλείται να εκτελέσει μία προς μία για να παραχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα». Για την δημιουργία ενός προγράμματος χρησιμοποιείται μια τεχνητή γλώσσα που επιτρέπει την επικοινωνία προγραμματιστή και υπολογιστή και η οποία ονομάζεται γλώσσα προγραμματισμού (programming language). Η διαδικασία της δημιουργίας του προγράμματος ονομάζεται προγραμματισμός (programming), ενώ το σύνολο των προγραμμάτων που χρησιμοποιούνται από τους υπολογιστές ονομάζεται λογισμικό (software). Έτσι σκοπός της Αριθμητικής Επίλυσης των Υπερβατικών Εξισώσεων είναι η μετατροπή προβλημάτων των Υπερβατικών Εξισώσεων σε ισοδύναμα προβλήματα επεξεργάσιμα από υπολογιστή, ώστε να μπορούν να επιλυθούν αριθμητικά για την απόκτηση αριθμητικών τιμών. Η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων είναι χρήσιμη και πολλές φορές απαραίτητη σε διάφορους κλάδους των Εφαρμοσμένων Επιστημών, όπως είναι η Φυσική, Αστρονομία, Υπολογιστική Βιολογία, Φυσική της Ιατρικής, Υπολογιστική Χημεία, Μετεωρολογία, κ.α. Συνεπώς, η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων ενδιαφέρει όλους τους χρήστες των Μαθηματικών στις εφαρμογές τους στην Επιστήμη και στην Τεχνολογία. Για τη μετατροπή των διαφόρων προβλημάτων των Υπερβατικών Εξισώσεων σε επεξεργάσιμα από υπολογιστή προβλήματα, η Αριθμητική Επίλυση αναπτύσσει κατάλληλες μεθόδους. Μια μέθοδος χαρακτηρίζεται ως κατάλληλη κυρίως όταν μας παρέχει με ακρίβεια και με βεβαιότητα το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα με το μικρότερο δυνατό υπολογιστικό κόστος σε συνδυασμό με το μικρότερο δυνατό απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (μνήμης). Οι μέθοδοι που προκύπτουν διατυπώνονται σε μια έκφραση αλγορίθμου ώστε να υλοποιηθούν κατά τον οικονομικότερο τρόπο μέσω προγραμμάτων στον υπολογιστή. Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων μπορεί να διακριθεί σε δύο αλληλένδετα μέρη: (α) θεωρητικό μέρος που αφορά στη δημιουργία των κατάλληλων μεθόδων και (β) το πρακτικό ή εφαρμοσμένο μέρος που αφορά στην υλοποίηση των μεθόδων σε έναν υπολογιστή. Δυστυχώς, στην Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων δεν υπάρχει «πανάκεια», με την έννοια ότι για κάθε κατηγορία προβλημάτων υπάρχει μια συγκεκριμένη κατάλληλη μέθοδος. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι οι οποίες μπορούν να επιλύσουν ένα πρόβλημα, και η καθεμία έχει τα πλεονέκτημά της, αλλά και τα μειονεκτήματά της. Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων δίνει μεγάλη σημασία στο λεπτομερή προσχεδιασμό που απαιτείται για ένα συγκεκριμένο υπολογισμό. Σχετίζεται επίσης και με ζητήματα που αφορούν ακρίβεια, σφάλματα και έλεγχο. Σ' αυτό το σημείο πρέπει κανείς να συμφωνήσει με το μεγάλο επιστήμονα και πρωτοπόρο Albert Einstein (1879–1955) ο οποίος έλεγε:

   
   «Ανοησία είναι να προσδοκάς καλύτερα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας πάντα την ίδια μέθοδο».

   Βέβαια σημαντικό ρόλο παίζει και ο σωστός προσδιορισμός του προς επίλυση προβλήματος. Γι' αυτό χαρακτηριστικά αναφέρουμε τη ρήση του Albert Einstein ο οποίος έλεγε:

   
   «Ένα σωστά ορισμένο πρόβλημα έχει ήδη επιλυθεί κατά το ήμισυ»,

   καθώς και τη ρήση του Βολταίρου [Φρανσουά–Μαρί Αρουέ (François–Marie Arouet) επιλεγόμενος Βολταίρος (Voltaire) (1694–1778)] ο οποίος έλεγε:

   
   «Η σωστή λύση ενός λανθασμένα ορισμένου προβλήματος είναι εξίσου μη αποδεκτή με τη λανθασμένη λύση του σωστά ορισμένου προβλήματος».

   Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: «η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων συνίσταται στην ανάπτυξη και αξιολόγηση μεθόδων για τον υπολογισμό αριθμητικών αποτελεσμάτων από αριθμητικά δεδομένα». Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Υπερβατικών Εξισώσεων θα μπορούσε να ορισθεί και να θεωρηθεί ως «ένα είδος επεξεργασίας πληροφοριών, όπου τα δεδομένα αποτελούν τις πληροφορίες εισόδου, τα αποτελέσματα τις πληροφορίες εξόδου, ενώ η μέθοδος υπολογισμού αποτελεί τον αλγόριθμο». Τελειώνοντας αναφέρουμε ότι θεωρητικά ένα αριθμητικό πρόβλημα θεωρείται λυμένο με την παράθεση ενός αλγορίθμου που εφαρμοζόμενος δίνει τη λύση του προβλήματος με κάθε επιθυμητή ακρίβεια.


2. Στόχος του μαθήματος: Στόχος του μαθήματος της «Αριθμητικής Επίλυσης των Υπερβατικών Εξισώσεων» είναι να διδαχθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων που συσχετίζονται με τις υπερβατικές εξισώσεις καθώς και με συστήματα υπερβατικών εξισώσεων. Επίσης στόχος του μαθήματος είναι να αναπτυχθούν κριτήρια για την επιλογή της καταλληλότερης μεθόδου για την αντιμετώπιση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Για την επίλυση των υπερβατικών εξισώσεων καθώς και των συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων πρωτεύοντα ρόλο παίζει ο εντοπισμός των λύσεων σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Για τον σκοπό αυτό θα μελετήσουμε την έννοια του τοπολογικού βαθμού του οποίου η μη μηδενική τιμή μας εξασφαλίζει την ύπαρξη λύσεων σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Επίσης θα μελετήσουμε αντίστοιχα θεωρήματα με τα οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε το ακριβές πλήθος των λύσεων σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Ακολούθως θα μελετήσουμε το πρόβλημα της ύπαρξης και του υπολογισμού σταθερών σημείων υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Επίσης στόχος του μαθήματος είναι να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές μέθοδοι για την αριθμητική βελτιστοποίηση υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.


3. Θεματικές ενότητες του μαθήματος: Οι θεματικές ενότητες είναι οι ακόλουθες:
   1. Βασικές έννοιες: Θα μελετήσουμε την ανάγκη και τη χρησιμότητα των υπερβατικών εξισώσεων σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, καθώς επίσης και τη χρησιμότητα των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων. Ακόμα, θα παραθέσουμε βασικές έννοιες των υπερβατικών εξισώσεων, καθώς επίσης και έννοιες για τη συμπεριφορά λύσεων συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων, και τη συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού προσεγγιστικών λύσεων. Τέλος θα αναφερθούμε σε προβλήματα που άπτονται των υπερβατικών εξισώσεων όπως η εύρεση περιοδικών τροχιών μη–γραμμικών απεικονίσεων, εκπαίδευσης τεχνητών νευρωνικών δικτύων καθώς και γεωμετρίας θραυσματικών συνόλων (fractals).
   2. Μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης λύσεων: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η ανάπτυξη και η μελέτη μεθόδων για τον εντοπισμό και την απομόνωση λύσεων συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων. Θα μελετήσουμε την έννοια του τοπολογικού βαθμού του οποίου η μη–μηδενική τιμή μας εξασφαλίζει την ύπαρξη λύσεων σε μια δοθείσα περιοχή. Επίσης θα μελετήσουμε αντίστοιχα θεωρήματα για τον προσδιορισμό του ακριβούς πλήθους των λύσεων σε μια δοθείσα περιοχή. Συγκεκριμένα θα μελετήσουμε το θεώρημα ύπαρξης λύσεων του Kronecker καθώς και τις μεθόδους Stenger και Kearfott για τον υπολογισμό του τοπολογικού βαθμού. Ακολούθως θα μελετήσουμε και θα αναλύσουμε το θεώρημα του Picard για τον υπολογισμό του ακριβούς πλήθους των λύσεων σε μια δοθείσα περιοχή.
   3. Μέθοδοι εντοπισμού και απομόνωσης σταθερών σημείων: Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με την ανάπτυξη και τη μελέτη μεθόδων για τον εντοπισμό και την απομόνωση σταθερών σημείων υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα μελετήσουμε και θα αναλύσουμε το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Στη συνέχεια θα δώσουμε την εικασία ύπαρξης λύσεων του Poincaré (την οποία διατύπωσε ο Poincaré το 1883 και το 1884) και θα αποδείξουμε την εικασία αυτή με το θεώρημα ύπαρξης λύσεων των Poincaré–Miranda το οποίο είναι ισοδύναμο με το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Ακολούθως θα μελετήσουμε το λήμμα επικάλυψης των Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz καθώς και το λήμμα επικάλυψης των Scarf–Hansen. Τέλος θα αναλύσουμε και θα μελετήσουμε διεξοδικά το λήμμα του Sperner το οποίο αποτελεί ένα συνδυαστικό ανάλογο του θεωρήματος σταθερού σημείου του Brouwer.
   4. Μέθοδοι προσέγγισης λύσεων συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η ανάπτυξη και η μελέτη μεθόδων για την προσέγγιση μίας ή και περισσοτέρων λύσεων συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων. Θα μελετήσουμε τις μεθόδους: διχοτόμησης, γενικευμένης διχοτόμησης, Newton, τύπου Newton, γενικευμένης χορδής, Broyden, καθώς και μη–γραμμικές μεθόδους διαδοχικών υπερχαλαρώσεων (SOR) Gauss-Seidel και Jacobi. Τέλος θα μελετήσουμε το πρόβλημα της εύρεσης όλων των ριζών υπερβατικών συναρτήσεων μίας μεταβλητής καθώς και της εύρεσης όλων των λύσεων συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων.
   5. Μέθοδοι προσέγγισης σταθερών σημείων: Σ' αυτή την ενότητα, θα μελετήσουμε και θα αναλύσουμε το θεώρημα του σταθερού σημείου του Banach και με βάση το θεώρημα αυτό θα δώσουμε την επαναληπτική μέθοδο του Banach η οποία είναι βέλτιστη για συναρτήσεις συστολής. Ακολούθως θα μελετήσουμε την πολυπλοκότητα, την εκ των προτέρων και εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος της επαναληπτικής μεθόδου του Banach καθώς και τα κριτήρια τερματισμού της. Τέλος θα μελετήσουμε τη μέθοδο του Scarf.
   6. Αριθμητική ελαχιστοποίηση υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να να μελετηθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές αριθμητικές μέθοδοι για τη ελαχιστοποίηση υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα τονίσουμε τη σημασία και τη χρησιμότητα της ελαχιστοποίησης στην επιστήμη και τεχνολογία. Ακολούθως θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους ελαχιστοποίησης και θα μελετήσουμε διεξοδικά τη συμπεριφορά, σύγκλιση και πολυπλοκότητα τους. Επίσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Zoutendijk και τις συνθήκες του Wolfe θα αναπτύξουμε και θα αναλύσουμε μεθόδους ευρείας σύγκλισης δηλαδή μεθόδους οι οποίες συγκλίνουν στο τοπικό ελαχιστοποιητή ακόμα και για αρχικές τιμές που βρίσκονται μακριά από αυτόν. Επίσης θα αναφερθούμε στο πρόβλημα της καθολικής (ολικής) ελαχιστοποίησης καθώς και πως αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί. Τέλος θα μελετήσουμε την εκπαίδευση τεχνητών νευρωνικών δικτύων ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης.
   7. Οπτικοποίηση περιοχών σύγκλισης: Σ' αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε μέσω οπτικοποίησης τις περιοχές σύγκλισης μεθόδων επίλυσης συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων καθώς και την αντίστοιχη ταχύτητα σύγκλισης των. Θα δώσουμε και θα αναλύσουμε το θραυσματικό σύνολο (fractal) που προκύπτει από τη μέθοδο του Newton και με βάση αυτό θα μελετήσουμε τα θραυσματικά σύνολα που προκύπτουν από άλλες μεθόδους επίλυσης συστημάτων υπερβατικών εξισώσεων καθώς και από μεθόδους ελαχιστοποίησης υπερβατικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
4. Φροντιστήρια και εργαστήρια του μαθήματος: Τα φροντιστήρια και εργαστήρια στοχεύουν στην ενίσχυση των γνώσεων και των δεξιοτήτων καθώς και στην απόκτηση ευχέρειας σε έννοιες που σχετίζονται με το μάθημα. Αυτό επιτυγχάνεται με την υποδειγματική επίλυση πολλών ασκήσεων καθώς και με εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης σε υπολογιστή, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave. Για τον σκοπό αυτό παρέχονται επιπλέον προαιρετικά εισαγωγικά μαθήματα στο MATLAB/Octave. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζεται μια εισαγωγή για τις δυνατότητες που μας προσφέρει το MATLAB/Octave εστιάζοντας τόσο στην ευκολία που μας παρέχει με το χειρισμό μητρώων όσο και στις απεικονιστικές του δυνατότητες. Ακολούθως, δίνεται μια εισαγωγή στις επαναληπτικές δομές καθώς και στις δομές ελέγχου με προοπτική την χρήση τους στις αριθμητικές μεθόδους που θα υλοποιηθούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Κύριος στόχος του εργαστηρίου είναι η συστηματική προσέγγιση και κατάρτιση καθώς και η καλλιέργεια στους φοιτητές και στις φοιτήτριες της ικανότητας σύλληψης και απόδοσης των εννοιών του μαθήματος. Τα εργαστηριακά μαθήματα πραγματοποιούνται στην αίθουσα 035 στο χώρο του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών το οποίο λειτουργεί στις αίθουσες 035, 036, 037, 038, 039, 040, 044, 015, 145 του κτηρίου Βιολογίας/Μαθηματικών με ώρες λειτουργίας 9:00–20:00, κατά τις εργάσιμες ημέρες. Κάθε Χρήστης που χρησιμοποιεί τους χώρους και τα συστήματα που ελέγχει το Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών θα πρέπει να γνωρίζει και να τηρεί τον Κανονισμό του Εργαστηρίου.


5. Συμμετοχή στην τάξη και παρακολουθήσεις: Παρ’ ότι η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική η συμμετοχή στις παραδόσεις είναι σίγουρα σημαντική και καθοριστική διότι η διδασκαλία αποτελεί μια δυναμική διαδικασία η οποία, με βάση τα πλαίσια της διδακτέας ύλης, προσαρμόζεται σύμφωνα με τις ερωτήσεις και απορίες των συμμετεχόντων φοιτητών και φοιτητριών. Έτσι στις παραδόσεις παρέχονται επιπλέον πληροφορίες και γι’ αυτό παροτρύνουμε τους συμμετέχοντες φοιτητές και φοιτήτριες να κρατούν σχολαστικά σημειώσεις οι οποίες θα τους βοηθήσουν στην μελέτη τους. Επίσης τους παροτρύνουμε να συμμετέχουν στα παρεχόμενα φροντιστήρια και εργαστήρια διότι έτσι θα ενισχυθούν οι γνώσεις τους στις έννοιες του μαθήματος καθώς και οι δεξιότητες τους στην υλοποίηση των μεθόδων με τις προαιρετικές εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave.