Μαθήματα

Δράση ομάδας σε σύνολο, τροχιές, σταθεροποιητές. Θεώρημα Απαρίθμησης Burnside και εφαρμογές. Ομάδες πινάκων, ισομετρίες ευκλείδειων χώρων, ομάδες συμμετρίας, πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας στο επίπεδο και στο χώρο, πλατωνικά στερεά. Modules, γραμμικές απεικονίσεις, πυρήνας, εικόνα, θεωρήματα ισομορφισμών, ευθέα γινόμενα και αθροίσματα, δυϊκόmodule, ελεύθερα modules. Modules πάνω σε περιοχές κύριων ιδεωδών. Αναλλοίωτοι παράγοντες, ρητή κανονική μορφή πίνακα, στοιχειώδεις διαιρέτες, μορφή Jordan πίνακα, νόρμες πινάκων, εκθετικά πινάκων.  Αλυσσωτά συμπλέγματα modules, ομολογία, συνομολογία, συνδετικός μορφισμός. Πλειογραμμικές μορφές και δυϊκότητα σε διανυσματικούς χώρους, τανυστικό γινόμενο διανυσματικών χώρων, τανυστικό γινόμενο γραμμικών απεικονίσεων, γινόμενο Kronecker πινάκων, συμμετρικοί τανυστές, αντισυμμετρικοί τανυστές. Τανυστική άλγεβρα, καθολική ιδιότητα. Εξωτερική άλγεβρα, διάσταση, συναρτητικότητα. Προσαρτημένη απεικόνιση, ειδικοί τύποι πινάκων (συμμετρικοί, ερμιτιανοί, ορθογώνιοι, εναδικοί, κανονικοί), ιδιοτιμές και διαγωνοποίηση. Θεώρημα βάσης του Hilbert, βάσεις Gröbner, αλγόριθμος Buchberger.

Χώροι Banach, χώροι πεπερασμένης διάστασης, Χώροι  Hilbert, ορθοκανονικές βάσεις, διαχωρίσιμοι χώροι Hilbert. Τελεστές. Είδη τελεστών και βασικές ιδιότητες αυτών: Αυτοσυζυγείς, φυσιολογικοί, πεπερασμένης τάξης, συμπαγείς τελεστές, τελεστές Hilbert Schmidt. Θεώρημα Hahn-Banach, δυϊσμός, αυτοπάθεια. Κλασικοί χώροι Banach: χώροι ακολουθιών και χώροι συναρτήσεων. Βασικά θεωρήματα: ομοιόμορφου φράγματος, ανοικτής απεικόνισης, κλειστού γραφήματος. Βάσεις Schauderκαι βασικές ακολουθίες. Τοπικά κυρτοί χώροι, διαχωριστικά θεωρήματα. Ασθενείς τοπολογίες, θεωρήματα Μazur, Banach-Alaoglu, Goldstine. Ασθενής συμπάγεια. Ακραία σημεία, θεώρημα Krein-Milman. Θεωρήματα σταθερού σημείου. Φάσμα τελεστή, φασματικό θεώρημα. Μη φραγμένοι τελεστές σε χώρους Hilbert. Eφαρμογές.

Βασικές ιδιότητες του Rⁿ: Σύγκλιση ακολουθιών, θεωρήματα μέσης τιμής, ανισότητα Gronwall-Bellman. Θεώρημα συστολής. Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης (τοπική και ολική). Εξάρτηση από αρχικές συνθήκες και παραμέτρους. Συνέχεια λύσεων. Γενικές ιδιότητες γραμμικών συστημάτων. Θεμελιώδης μήτρα. Λύση γραμμικών συστημάτων.  Ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων γραμμικών συστημάτων. Ευστάθεια λύσεων. Περιοδικά γραμμικά συστήματα. Θεώρημα Floquet. Στοιχειώδεις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ): Η εξίσωση Laplace, η εξίσωση θερμότητας και η κυματική εξίσωση.  Βαθμωτές ΜΔΕ και συστήματα. Το σύμβολο μιας ΜΔΕ, χαρακτηριστικές υπερεπιφάνειες και ταξινόμηση.  Το θεώρημα Cauchy-Kovalevskaya. Μετασχηματισμοί Fourier. Συναρτήσεις Green. Θεμελιώδεις λύσεις γραμμικών ΜΔΕ.

Ορισμός διαφορικής (λείας) πολλαπλότητας, παραδείγματα (Rⁿ, Sⁿ, Gl_nR), πολλαπλότητες πηλίκο (RPⁿ), διαφορίσιμες συναρτήσεις, εφαπτόμενα διανύσματα και εφαπτόμενος χώρος, διαφορικό λείας απεικόνισης, υποπολλαπλότητες, εμβαπτίσεις, υπεμβαπτίσεις, το θεώρημα σταθερής τάξης, εφαρμογές στις ομάδες πινάκων O(n), U(n), Sp(n), η εφαπτόμενη δέσμη, διανυσματικές δέσμες, διαμερίσεις της μονάδας, συναρτήσεις εξογκώματος, διανυσματικά πεδία, γινόμενο Lie, ολοκληρωτικές καμπύλες, στοιχεία ομάδων Lie, κλειστές υποομάδες Lie, η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie, αριστερά αναλλοίωτα διανυσματικά πεδία, η συζυγής αναπαράσταση, διαφορικές μορφές σε πολλαπλότητες, συνεφαπτόμενος χώρος, συνεφαπτόμενη δέσμη, αναλλοίωτες μορφές σε ομάδες Lie, εξωτερική παράγωγος, πολλαπλότητες με σύνορο, ολοκλήρωση σε πολλαπλότητες, Θεώρημα Stokes.

Θεμελιώδεις αρχές της μοντελοποίησης. Στοιχεία Διαστατικής Ανάλυσης, Θεώρημα Π του Buckingham, αδιαστατοποίηση μαθηματικών μοντέλων, μέθοδος του Rayleigh, παραδείγματα (μηχανικές ταλαντώσεις, η διαστατική ανάλυση μιας έκρηξης του G.I. Taylor, κ.α.). Μαθηματική διατύπωση προβλημάτων που πηγάζουν από τη φυσική, τη βιολογία, την τεχνολογία και άλλες θετικές επιστήμες. Ποικίλες εφαρμογές: κυκλοφορία οχημάτων, ωρίμανση κρυστάλλων (Ostwald ripening), πληθυσμιακά μοντέλα, εξέλιξη και εξάπλωση μιας επιδημίας, μορφογένεση σε βιολογικά συστήματα, ροή και συσσωμάτωση κοκκώδους ύλης σε διαδρόμους μεταφοράς, κ.α. Εντοπισμός της κατάλληλης μεθόδου επίλυσης του εκάστοτε προβλήματος. (i) Αναλυτικές μέθοδοι των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων (χώρος των φάσεων, μελέτη σταθερών σημείων και αναλλοίωτων συνόλων, ασυμπτωτική συμπεριφορά και ποιοτικά χαρακτηριστικά των λύσεων) και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (χωρισμός των μεταβλητών, λύσεις ομοιότητας, λύσεις τύπου οδεύοντος κύματος, χρήση μετασχηματισμών). (ii) Αριθμητικές μέθοδοι: μέθοδος Euler, Runge-Kutta, πεπερασμένων διαφορών. Χρήση λογισμικών για συμβολικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς, γραφικές παραστάσεις με Maple, Mathematica, κ.α.

Γίνεται κατ’ έτος, επιλογή κάποιου συνδυασμού από τα παρακάτω θέματα:

Θεωρία Κατηγοριών. Βασικές έννοιες της Θεωρίας Κατηγοριών και παραδείγματα: Κατηγορίες, συναρτητές, φυσικοί μετασχηματισμοί. Κατηγορίες συναρτητών, το λήμμα του Yoneda. Γινόμενα, συν-γινόμενα, παραδείγματα. Εξισωτές, συνεξισωτές και κατασκευή τους στα σύνολα. Όρια, συνόρια, κατασκευή ορίων από γινόμενα και εξισωτές. Πέρατα (ends) και συν-πέρατα. Προσαρτημένοι (adjoint) συναρτητές, ισοδύναμοι ορισμοί, παραδείγματα, διατήρηση ορίων. Επεκτάσεις Kan, ιδιάζοντες (singular) συναρτητές και συναρτητές γεωμετρικής πραγματοποίησης (geometric realization). Τανυστικά γινόμενα. Παράγωγες Κατηγορίες.
Ομολογιακή Άλγεβρα. Αλυσωτά συμπλέγματα (chain complexes) και η ομολογία τους, ομοτοπία, βραχείες ακριβείς (short exact) ακολουθίες, διαγραμματικά λήμματα. Μακρά ακριβής ακολουθία ομολογίας. Προβολικά και ενριπτικά (injective) αντικείμενα, διαιρέσιμες (divisible) αβελιανές ομάδες, ύπαρξη επαρκών ενριπτικών προτύπων. Προβολικές και ενριπτικές επιλύσεις (resolutions), ορισμός παραγώγων (derived) συναρτητών, συναρτητέςExt και Tor. Ημιευθέα γινόμενα ομάδων, επεκτάσεις ομάδων, ομολογία και συνομολογία ομάδων.
ΑντιμεταθετικήΆλγεβρακαιΘεωρίαΣωμάτων. Στοιχεία θεωρίας αλγεβρικών σωμάτων αριθμών: παραγοντοποίηση στοιχείων και ιδεωδών, βαθμοί, διακλάδωση, σώματα-πηλίκα, ομάδες διάσπασης, ομάδες αδράνειας, αυτομορφισμοί Frobenius, αυτομορφισμοί Artin. Ακέραια θήκη, τοπικοποίηση, δακτύλιοι Dedekind, κλασματικά ιδεώδη, κύρια ιδεώδη, ομάδα κλάσεων ιδεωδών. Στοιχεία θεωρίας διάστασης δακτυλίων. Διατιμημένα σώματα, επεκτάσεις διατιμήσεων, πληρώσεις, τοπικά σώματα. Λήμμα του Hensel, λήμμα του Krasner. Αλγεβρική ανεξαρτησία σε επεκτάσεις σωμάτων. Υπερβατικές επεκτάσεις, υπερβατικές βάσεις, βαθμός υπερβατικότητας. 
Αλγεβρική Γεωμετρία. Αφινικές και προβολικές πολλαπλότητες, μορφισμοί και ρητές απεικονίσεις, Nullstellensatz. Επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες, Θεώρημα Bezout. Ανώμαλα σημεία και ομαλοποίηση. Γενική θεωρία αλγεβρικών καμπύλων: αλγεβρική, γεωμετρική και αναλυτική. Ελλειπτικές καμπύλες, καμπύλες οποιουδήποτε γένους, Jacobians. Γραμμικές σειρές, Θεώρημα Riemann-Roch. Αριθμοθεωρητικές εφαρμογές.
Θεωρία Αναπαραστάσεων. Αναπαραστάσεις πεπερασμένων ομάδων, υπο-αναπαραστάσεις, ευθέα αθροίσματα, τανυστικά γινόμενα, συμμετρικές και εξωτερικές δυνάμεις αναπαραστάσεων. Αναγωγιμότητα, διασπασιμότητα, Λήμμα του Schur, Θεώρημα Maschke. Χαρακτήρες, σχέσεις ορθογωνιότητας, παραδείγματα και εφαρμογές. Περιορισμός αναπαράστασης, επαγόμενη αναπαράσταση, αντιστροφή Frobenius. 

Διδάσκεται κατ’ έτος ένα από τα κάτωθι θέματα:

• Θεωρία Μέτρου. Σ-Άλγεβρες, Μέτρα. Μέτρο Lebesgue. Μετρήσιμες συναρτήσεις. Ολοκλήρωμα Lebesgue. Σύγκλιση ακολουθιών μετρησίμων συναρτήσεων. Θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμης Συνάρτησης. Θεωρήματα Egoroff και Lusin.Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης. Σύγκριση των ολοκληρωμάτων Riemann και Lebesgue. Οι χώροι L^p. Προσημασμένα μέτρα, απολύτως συνεχή μέτρα και Θεώρημα Randon-Nikodym.Μέτρα γινόμενα.Εφαρμογές στην Ανάλυση και την Θεωρία Πιθανοτήτων.
• Θεωρία Τελεστών. Μεταθετικές C* άλγεβρες. Μετασχηματισμός Gelfand. Θεώρημα Gelfand-Naimark. Φασματικό θεώρημα για φυσιολογικό τελεστή. Συναρτησιακός Λογισμός. Αβελιανές άλγεβρες von Neumann.
• Μιγαδική Ανάλυση. Σφαιρικό Θεώρημα του Cauchy, Τοπική δομή ολομόρφων συναρτήσεων (θεώρημα ανοικτής και θεώρημα αντιστρόφου απεικόνισης). Θεώρημα Rouche και εφαρμογές. Λήμμα Schwarz και εφαρμογές. Μετασχηματισμοί Möbious. Κανονικές οικογένειες, θεώρημα Montel, συμπάγεια στο χώρο ολομόρφων συναρτήσεων. Θεώρημα Riemann, Θεωρήματα Picard, Θεώρημα Runge,  Απειρογινόμενα Weierstraß, Θεώρημα Mittag-Lefler, Συνάρτηση ζήτα του Riemann.

Γίνεται κατ’ έτος, επιλογή κάποιου συνδυασμού από τα παρακάτω θέματα:

Πολλαπλότητες Riemann. Ορισμός, παραδείγματα, η συνοχή Levi-Civita, αριστερά αναλλοίωτες και αμφιαναλλοίωτες μετρικές σε ομάδες Lie, διανυσματικά πεδία κατά μήκος καμπύλης, παραλληλία, γεωδαισιακές καμπύλες σε πολλαπλότητες, πληρότητα, το θεώρημα Hopf-Rinov, τανυστής καμπυλότητας, καμπυλότητα τομής, καμπυλότητα Ricci, βαθμωτή καμπυλότητα, μετρικές Einstein.
Oμάδες Lie. Κλειστές υποομάδες Lie, μεγιστικοί τόροι, μεγιστικοί δακτύλιοι, ταξινόμηση των απλών, συμπαγών, συνεκτικών, και απλά συνεκτικών ομάδων Lie, δράση ομάδας Lie σε πολλαπλότητες, ομογενείς χώροι, αναγωγική διάσπαση, η ισοτροπική αναπαράσταση, η γεωμετρία ενός ομογενούς χώρου, εφαρμογές.
Συμπλεκτική γεωμετρία και μηχανική Hamilton. Συμπλεκτικά διανυσματικά πεδία και πεδία Hamilton, η δομή Lie-Poisson, συμπλεκτικές πολλαπλότητες και φυλλώσεις, υποπολλαπλότητες Poisson, το θεώρημα Darboux, η δυϊκή συζυγής αναπαράσταση. Εφαρμογές σε συστήματα Hamilton, ομάδες συμμετριών Lie, πρώτα ολοκληρώματα, υποβιβασμός τάξης, ολοκληρωσιμότητα κατά Liouville.
Θεωρία Frobenius γεωμετρία επαφής. Ολοκληρωτικές υποπολλαπλότητες και κατανομές διανυσματικών πεδίων. Το θεώρημα Frobenius για διανυσματικά πεδία, κι η ισοδύναμη διατύπωσή του με διαφορικές ένα μορφές, συστήματα Pfaff, κλειστά διαφορικά ιδεώδη. Εφαρμογές σε ολονομικά μηχανικά συστήματα, το θεώρημα Carathéodory στην θερμοδυναμική, η αρχή Huygens στην οπτική, το πρόβλημα Cauchy για ΜΔΕ πρώτης τάξης.
ΜιγαδικέςημιαπλέςΆλγεβρες Lie. Γενική και δομική θεωρία. Μορφή Killing, Θεώρημα Cartan, διασπάσεις, ρίζες, υποάλγεβρα Cartan, συστήματα ριζών, αναγωγιμότητα, ομάδα Weyl, αναπαραστάσεις μιγαδικών ημιαπλών αλγεβρών Lie.
Θεωρία συνοχών. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες, μορφές συνοχής, καμπυλότητας και στρέψης, πράξεις σε διανυσματικές δέσμες, διανυσματικές διαφορικές μορφές, χαρακτηριστικές κλάσεις, κύριες δέσμες, συνοχές σε κύριες δέσμες, χαρακτηριστικές κλάσεις κύριων δεσμών.
Συνομολογία de Rham. Συναρτησιακότητα (functoriality), αναλλοίωτο της συνομολογίας de Rham μέσω διαφορομορφισμών, αναλλοίωτο των συνομολογίας de Rham μέσω ομοτοπικών ισοδυναμιών, τρόποι υπολογισμού της συνομολογίας de Rham, Λήμμα του Poincaré, δυϊσμός, σχέση της συνομολογίαςdeRham με την ιδιάζουσα συνομολογία (Θεώρημα de Rham).

Διδάσκεται  κατ’ έτος, ένα από τα κάτωθι θέματα:

• Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα και Χάος. Αυτόνομα συστήματα μη γραμμικών ΣΔΕ στο επίπεδο, σημεία ισορροπίας και η ευστάθειά τους, η σημασία της μη γραμμικότητας, θεώρημα Hartman-Grobman και η έννοια της δομικής ευστάθειας, ποσοτικές και ποιοτικές μέθοδοι ανάλυσης. Εφαρμογές: συστήματα πληθυσμών με ανταγωνιστικές σχέσεις τύπου Lotka-Volterra, δυναμική μη γραμμικών ταλαντωτών, κ.α. Οριακοί κύκλοι και το θεώρημα Poincaré-Bendixson. Θεώρημα του Liénard. Ο ταλαντωτής VanderPolκαι άλλες εφαρμογές.  Διακλαδώσεις σταθερών σημείων και περιοδικών τροχιών: σάγματος-κόμβου, μετακρίσιμη, διχάλας, και διακλάδωση Hopf. Εφαρμογές. Χαμιλτονιανά συστήματα, θεώρημα Liouville, παράγωγα συστήματα, θεωρία ευστάθειας και συναρτήσεις Lyapunov. Εφαρμογές από την Kλασική Mηχανική. Γενίκευση σε δυναμικά συστήματα (αυτόνομα και μη-αυτόνομα) των οποίων ο χώρος των φάσεων έχει 3 ή περισσότερες διαστάσεις. Η εμφάνιση χαοτικής συμπεριφοράς. Ο ελκυστής του Lorenz και άλλοι χαοτικοί (“παράξενοι”) ελκυστές.
• Μη Γραμμικές Κυματικές Εξισώσεις. Εισαγωγή στις κυματικές εξισώσεις, χαρακτηριστικά ενός κύματος, οδεύοντα και στάσιμα κύματα, γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις, σχέση διασποράς, ταχύτητα φάσης και ταχύτητα ομάδας, κινηματικά και δυναμικά κύματα. Η εξίσωση Burgers και παρόμοιες άλλες εξισώσεις που παρουσιάζουν κρουστικά κύματα (shock wave solutions), ταχύτητα του κρουστικού κύματος, συνθήκες Rankine-Hugoniot, μέθοδος των χαρακτηριστικών καμπυλών, το μονοκλινικό κύμα (monoclinal wave), μετασχηματισμός Cole-Hopf και η σχέση μεταξύ των λύσεων της εξίσωσης Burgers και της γραμμικής εξίσωσης διάχυσης/θερμότητας. Εφαρμογές: κυκλοφορία οχημάτων, το πρόβλημα του σπασμένου φράγματος (dam break problem), κ.α. Η εξίσωση Korteweg – de Vries (KdV) και άλλες εξισώσεις που παρουσιάζουν σολιτονικά κύματα (soliton solutions). Μαθηματική περιγραφή της ροής νερού σε ανοιχτό αγωγό, επιφανειακά κύματα, σχέση διασποράς για κύματα στο νερό και η ταχύτητά τους, κύματα μεγάλου και μικρού μήκους κύματος, η εξίσωση KdV, σολιτονικά και cnoidal κύματα. Εφαρμογές στη φύση και στην τεχνολογία.

Διδάσκεται  κατ’ έτος, ένα από τα κάτωθι θέματα:

• Ειδικές Συναρτήσεις. Στοιχειώδεις συναρτήσεις της Μαθηματικής Φυσικής και γενικεύσεις αυτών. Συναρτήσεις υπεργεωμετρικού τύπου και πολυώνυμα υπεργεωμετρικού τύπου. Βασικές ιδιότητες αυτών. Αναδρομικές σχέσεις και τύποι παραγώγισης. Ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων υπεργεωμετρικού τύπου. Συναρτήσεις Bessel. Βασικές ιδιότητες αυτών. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων που περιέχουν συναρτήσεις. Ανάπτυξη συνάρτησης σε σειρά Fourier-Bessel. Κλασικά ορθογώνια πολυώνυμα. Προβλήματα ιδιοτιμών που λύνονται μέσω των ορθογωνίων πολυωνύμων.
• Ολοκληρωσιμότητα κλασικών και κβαντικών συστημάτων. Ολοκληρώσιμα συστήματα και άλγεβρες Lie πεπερασμένης διάστασης. Ομάδες ανακλάσεων και συστήματα ριζών (διαγράμματα Dynkin). Απεικόνιση ορμής (moment map). Μέθοδος προβολής. Ζεύγη Lax για συστήματα τύπου Calogero-Moser-Sutherland και Toda. Κβαντοποίηση ανοικτών συστημάτων Toda. Συστήματα Toda με περιοδικές συνοριακές συνθήκες και εξισώσεις Lax με παράμετρο. Μέθοδος του κλασσικού πίνακα r και του κβαντικού πίνακα R. Ταυτότητα Yang-Baxter στην κλασσική και κβαντική περίπτωση. Κβαντικές ομάδες Αλγεβρικό Bethe Ansatz. Ομάδες Lie - Poisson και εξισώσεις Lax διαφορών. Ολοκληρώσιμα συστήματα διακριτού χρόνου. Κίνηση πόλων ή ριζών λύσεων εξελικτικών εξισώσεων και συναφή προβλήματα πολλών σωμάτων.

Διδάσκεται  κατ’ έτος ένα από τα κάτωθι θέματα:

• Θεωρία Διαστάσεων: Ιστορική ανασκόπηση της Θεωρίας Διαστάσεων, Μικρή και μεγάλη επαγωγική διάσταση, Διάσταση κάλυψης, Τα βασικά θεωρήματα χώρων διάστασης n (εμβάπτισης, ένωσης, γινομένου και συμπαγοποίησης), Καθολικοί χώροι, Ευκλείδειοι χώροι και κύβος του Hilbert, Posets και Θεωρία διατάσεων, Η θεωρία διαστάσεων στη Θεωρία γραφημάτων, Δυναμικά συστήματα και Θεωρία διατάσεων (Carathéodory Dimension, Hausdorff Dimension και Box Dimension).
• Αλγεβρική Τοπολογία: Τοπολογικός χώρος-πηλίκο, Ομοτοπία, Θεμελιώδης ομάδα, Ανυψώσεις απεικονίσεων, Χώροι επικάλυψης, Μετασχηματισμοί επικάλυψης, Ομάδες ομολογίας. Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer, Θεώρημα Borsuk-Ulam, Ταξινόμηση συμπαγών επιφανειών, Χαρακτηριστική Euler-Poincaré.
• Ειδικά θέματα Γενικής Τοπολογίας: Χώροι συναρτήσεων, Τοπολογίες στα σύνολα των ανοικτών και των κλειστών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου, Προβολικά Όρια, Čech-Stone συμπαγοποιήσεις και Wallman επεκτάσεις, Čech-complete χώροι, Παρασυμπαγείς τοπολογικοί χώροι, Θεωρήματα μετρικοποιησιμότητας ενός τοπολογικού χώρου, Uniform χώροι, Proximity χώροι.
• Εισαγωγή στις Τοπολογικές ομάδες και τους Τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους: Βασικοί ορισμοί και παραδείγματα στις τοπολογικές ομάδες, Απεικονίσεις μεταξύ τοπολογικών ομάδων, Αξιώματα διαχωρισιμότητας, Υποομάδες τοπολογικών ομάδων, Γινόμενο τοπολογικών ομάδων, Συνεκτικότητα και συμπάγεια, Δράση τοπολογικών ομάδων, Βασικοί ορισμοί και παραδείγματα της θεωρίας των τοπολογικών διανυσματικών χώρων, Υπόχωροι – γινόμενα – χώροι πηλίκα, Κυρτά και φραγμένα σύνολα, Ημινόρμες και νόρμες, Τοπολογικοί γραμμικοί χώροι με νόρμα, Μετρικοποιησιμότητα τοπολογικών γραμμικών χώρων, Τοπικά κυρτοί χώροι, Συνεχείς γραμμικές απεικονίσεις, Δυϊκοί χώροι.
• Θεωρία συνεχών: Παραδείγματα συνεχών και ένθετες κατασκευές συνεχών, Γινόμενα χώρων, Αντίστροφα όρια συνεχών και Θεώρημα εμφύτευσης του Anderson-Choquet, Χώροι πηλίκο συνεχών και Άνω-ημισυνεχείς διαμερίσεις. Όρια συνόλων LimInf, LImSup, Lim και Θεωρήματα σύγκλισης, Θεωρήματα συνοριακής πρόσκρουσης, Υποσυνεχές σύγκλισης και Θεωρήματα ύπαρξης του, Συνεχή του Peano  (τοπικά συνεκτικά συνεχή), ιδιότητα S και Θεώρημα Hach-Mazurkiewicz, Η έννοια της καμπύλης και ταξινόμηση των καμπυλών, Γράφοι  και το Θεώρημα του Kuratowski για τους γράφους, Αναφορά στο Θεώρημα Jordan και στον τύπο του Euler,  Δενδρίτες και βασικές ιδιότητες τους.

Διπλωματική Εργασία