B. Περίγραμμα του Μαθήματος «Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων»

1. Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης και η σημασία της αριθμητικής επίλυσης της: Ο περίφημος φιλόσοφος Ηράκλειτος ο Εφέσιος (535–475 π.Χ.), ο αποκαλούμενος «σκοτεινός φιλόσοφος» καθώς και «φιλόσοφος του πυρός», πρέσβευε ότι:

   
   «Τα πάντα βρίσκονται σε συνεχή μεταβολή και ότι η μονιμότητα και η ακινησία είναι ίδιον των νεκρών».

   Επίσης είναι πολύ γνωστές οι ρήσεις του:

   
   «Πάντα ρει, πάντα χωρεί και ουδέν μένει»,

   δηλαδή τα πάντα μεταβάλλονται (κυλούν), τα πάντα προχωρούν και τίποτε δεν παραμένει, καθώς και

   
   «Ουκ αν εμβαίης δις τοις αυτοίς ποταμοίς, ου γαρ ρέουσι τα αυτά ύδατα»,

   δηλαδή δεν είναι δυνατόν να μπεις δυο φορές στον ίδιο ποταμό επειδή ανά πάσα στιγμή ο ποταμός αλλάζει, οπότε ποτέ δεν είναι ο ίδιος ποταμός. Με τη λέξη ύδατα εννοούσε επίσης το χρόνο καθώς και τις συνθήκες που ποτέ δεν είναι οι ίδιες αλλά πάντα αλλάζουν. Με τις ρήσεις του αυτές ο Ηράκλειτος δήλωνε ότι τα πάντα βρίσκονται σε μια συνεχή μεταβολή. Γενικά, είναι πολύ σημαντική η μελέτη και η ανάλυση της μεταβολής μιας συνεχώς μεταβαλλόμενης ποσότητας. Αρκετά προβλήματα που αφορούν συνεχείς μεταβολές στο φυσικό μας κόσμο λύνονται με τη χρήση των διαφορικών εξισώσεων. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι πριν από 300 και πλέον χρόνια ο Newton (Sir Isaac Newton, 1643–1727, Άγγλος Μαθηματικός και Φυσικός) υποστήριζε ότι:

   
   «Οι νόμοι της φύσης περιγράφονται με τη βοήθεια των διαφορικών εξισώσεων».

   Όπως τονίσαμε και προηγουμένως, τα πάντα στη φύση μεταβάλλονται. Σε διάφορα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται μεγέθη, των οποίων ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος) μπορεί να επηρεάζει τη μεταβολή κάποιου άλλου μεγέθους. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και σε πολλά προβλήματα και φαινόμενα της επιστήμης και της τεχνολογίας. Η προσέγγιση των παραπάνω προβλημάτων και φαινομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση των Διαφορικών Εξισώσεων (differential equations), έτσι ώστε να σχηματιστεί ένα κατάλληλο Μαθηματικό μοντέλο το οποίο να τα περιγράφει και στη συνέχεια να μπορούν αυτά να μελετηθούν με τη βοήθεια των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης. Γενικά, σαν μοντέλο (model) μπορούμε να ορίσουμε την περιγραφή ενός συστήματος με σκοπό την πρόβλεψη των αποτελεσμάτων ή της απόκρισης μετά από συγκεκριμένες ενέργειες ή εισόδους. Ο σκοπός του μοντέλου είναι η απλοποίηση μιας πάντα περίπλοκης πραγματικότητας. Η διαδικασία κατασκευής ενός μοντέλου λέγεται μοντελοποίηση (modeling), και είναι συνήθως επίπονη και χρονοβόρα, αλλά τα οφέλη μπορεί να είναι σημαντικά. Ένα χρήσιμο μοντέλο είναι ένα λογικών διαστάσεων σύνολο εξισώσεων, μεταβλητών και παραμέτρων, αλλά και πιθανόν μια διαδοχή δραστηριοτήτων, το οποίο μας επιτρέπει να μελετήσουμε προσεγγιστικά τις ιδιότητες και τη συμπεριφορά του πραγματικού συστήματος με πρακτικούς τρόπους: αναλυτικά, αριθμητικά ή αναλύοντας την έξοδο του μοντέλου μετά από διέγερση με κατάλληλες εισόδους (προσομοίωση). Από τα πιο χρήσιμα εργαλεία μοντελοποίησης είναι οι διαφορικές εξισώσεις που αποτελούν μια από τις πιο αναπτυγμένες κατευθύνσεις των Μαθηματικών, ενώ οι εφαρμογές τους κατέχουν κεντρική θέση σε όλες σχεδόν τις θετικές επιστήμες. Ο βασικός λόγος που οι διαφορικές εξισώσεις έχουν καταστεί το πιο δημοφιλές εργαλείο μοντελοποίησης είναι ότι:

   
   «Σε πάρα πολλά προβλήματα περιγράφεται πιο εύκολα η μεταβολή κάποιου μεγέθους σε σχέση με τη στιγμιαία τιμή του, παρά ο καθορισμός των χαρακτηριστικών της συνολικής εξέλιξης του μεγέθους αυτού».

   Με απλά λόγια, μια διαφορική εξίσωση είναι μια Μαθηματική εξίσωση που περιγράφει τη σχέση που έχει μια άγνωστη συνάρτηση μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών με τις διαφόρους τάξης παραγώγους της (ρυθμούς μεταβολής της). Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ordinary differential equation) είναι μια διαφορική εξίσωση της οποίας η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής. Οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ταξινομούνται σύμφωνα με την υψηλότερη τάξη p της παραγώγου της άγνωστης συνάρτησης που εμφανίζεται στην εξίσωση. Οι πιο σημαντικές περιπτώσεις που εμφανίζονται στις εφαρμογές είναι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης–τάξης (first–order) και δεύτερης–τάξης (second–order). Τώρα, κάθε συνάρτηση που έχει παραγώγους μέχρι και p τάξης η οποία πληροί την συνήθη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση (solution) της συνήθους διαφορικής εξίσωσης. Ένα Μαθηματικό μοντέλο που εκφράζεται με τη βοήθεια των συνήθων διαφορικών εξισώσεων για την περιγραφή και τη μελέτη ενός προβλήματος, συνοδεύεται από ορισμένες βοηθητικές συνθήκες, οι οποίες πηγάζουν κυρίως από το πρόβλημα. Έχουμε δύο τύπους βοηθητικών συνθηκών:
   1. Αρχικές συνθήκες (initial conditions)
   2. Συνοριακές συνθήκες (boundary conditions)
   Ο πρώτος τύπος των βοηθητικών συνθηκών δίνεται με την τιμή της άγνωστης συνάρτησης, ή και των παραγώγων αυτής μέχρι της p–1 παραγώγου της όπου p η τάξη της συνήθους διαφορικής εξίσωσης, σ' ένα μόνο σημείο του πεδίου ορισμού της. Κατά συνέπεια, για τη μελέτη του προβλήματος, πρέπει να βρεθεί εκείνη η λύση από τις λύσεις της συνήθους διαφορικής εξίσωσης, η οποία πληροί τις βοηθητικές συνθήκες. Τώρα, αν οι βοηθητικές συνθήκες δοθούν σε περισσότερα από ένα σημεία έχουμε το δεύτερο τύπο βοηθητικών συνθηκών δηλαδή τις συνοριακές συνθήκες. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας λύσης της συνήθους διαφορικής εξίσωσης που πληροί τις αρχικές ή τις συνοριακές συνθήκες λέγεται Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (initial value problem) ή Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (boundary value problem) αντίστοιχα. Πολλές φορές το πρόβλημα αρχικών τιμών αναφέρεται ως πρόβλημα του Cauchy (Augustin–Louis Cauchy, 1789–1857, Γάλλος Μαθηματικός). Επίσης, μια ευρεία κλάση σημαντικών προβλημάτων συνοριακών τιμών αποτελείται από τα προβλήματα Sturm–Liouville και οφείλεται στους Sturm (Jacques Charles François Sturm, 1803–1855, Γάλλος Μαθηματικός) και Liouville (Joseph Liouville, 1809–1882, Γάλλος Μαθηματικός).
   
   Θα ήταν ευτυχές το γεγονός να υπήρχε η αναλυτική λύση για κάθε πρόβλημα. Δηλαδή, να υπήρχε σε κλειστή μορφή μια παραγωγίσιμη συνάρτηση που να πληροί το πρόβλημα αρχικών τιμών. Αν όμως δεν είναι δυνατόν να βρεθεί η λύση, πράγμα που συμβαίνει στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό μπορεί να σημαίνει είτε ότι δεν υπάρχει αναλυτική μέθοδος επίλυσης είτε ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση. Έτσι, δημιουργούνται τα παρακάτω ερωτήματα:
   1. Πώς μπορούμε να ξέρουμε ότι αυτό το πρόβλημα έχει λύση, ακόμα και στην περίπτωση που δεν μπορούμε να τη βρούμε;
   2. Στην περίπτωση που το πρόβλημα έχει λύσεις, πόσες είναι αυτές;
   3. Στην περίπτωση που υπάρχει μία μοναδική λύση, πώς μπορούμε να ξέρουμε ότι μικρές μεταβολές στις αρχικές συνθήκες επιφέρουν μικρές μεταβολές στη λύση; Ή με άλλα λόγια, πώς μπορούμε να ξέρουμε ότι η λύση είναι συνεχής συνάρτηση των αρχικών συνθηκών;
   4. Τι ενδιαφέρον θα είχαν οι απαντήσεις στις προηγούμενες ερωτήσεις όταν, στην περίπτωση που υπάρχει λύση, δεν είμαστε σε θέση να την υπολογίσουμε;
   Για ένα πρόβλημα αρχικών τιμών τα παραπάνω ερωτήματα θέτουν τα παρακάτω προβλήματα:
   1. Πρόβλημα ύπαρξης λύσεων: Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε να υπάρχει λύση;
   2. Πρόβλημα μοναδικότητας λύσης: Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει λύση, ποιες συνθήκες εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας και μοναδικής λύσης;
   3. Πρόβλημα ευστάθειας λύσης: Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει μία και μοναδική λύση, ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε να εξαρτάται η λύση συνεχώς από τις βοηθητικές συνθήκες;
   4. Πρόβλημα εύρεσης λύσης: Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει μία και μοναδική λύση, πώς μπορούμε να την υπολογίσουμε;
   Όταν οι απαντήσεις στα τρία πρώτα παραπάνω προβλήματα (i)–(iii) είναι καταφατικές, τότε το αντίστοιχο πρόβλημα αρχικών τιμών λέγεται ότι είναι καλά–τοποθετημένο (well–posed) και το πρόβλημα αρχικών τιμών έχει μία μοναδική λύση η οποία είναι συνεχής συνάρτηση των αρχικών συνθηκών. Γενικά, η ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων προβλημάτων συνοριακών τιμών αποτελεί μια πιο περίπλοκη διαδικασία από εκείνη των προβλημάτων αρχικών τιμών.
   
   Η έννοια της καλής τοποθέτησης προβλημάτων διαφορικών εξισώσεων οφείλεται στον Hadamard (Jacques Solomon Hadamard, 1865–1963, Γάλλος μαθηματικός) και αποτελεί ένα αυστηρό μαθηματικό ορισμό της φυσικής έννοιας της αιτιότητας (causality), σύμφωνα με την οποία:

   
   «Η γνώση της κατάστασης ενός φαινομένου μια δεδομένη στιγμή καθορίζει με βεβαιότητα τη μελλοντική εξέλιξη του φαινομένου».

   Η σημασία της ευστάθειας της λύσης, δηλαδή της συνεχούς εξάρτησης της λύσης από τις βοηθητικές συνθήκες, είναι πάρα πολύ σημαντική. Αυτό ισχύει διότι, όταν για ένα Μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ένα φαινόμενο, η λύση είναι ευσταθής (stable), τότε το αντίστοιχο μοντέλο αποτελεί καλή προσέγγιση της πραγματικότητας και θεωρείται αξιόπιστο και συνεπώς χρήσιμο. Ενώ, όταν η λύση είναι ασταθής (unstable) τότε αυθαίρετα μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες μπορούν να επιφέρουν αυθαίρετα μεγάλες αλλαγές στη λύση. Όσον αφορά το πρόβλημα της εύρεσης της λύσης, αυτό αντιμετωπίζεται με αναλυτικές τεχνικές, όπου γίνεται χρήση της ανάλυσης για να βρεθεί η πραγματική λύση, καθώς και με αριθμητικές μεθόδους, όπου η προσεγγιστική λύση υπολογίζεται με τη χρήση της αριθμητικής ανάλυσης και με τη χρήση των υπολογιστών. Με βάση τα παραπάνω, η θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων συνίσταται στην:
   1. Ποιοτική θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων που αντιμετωπίζει τα προβλήματα της καλής τοποθέτησης ενός προβλήματος, καθώς και της μελέτης για τη συμπεριφορά και τις ιδιότητες της άγνωστης λύσης.
   2. Ποσοτική θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων που αντιμετωπίζει το πρόβλημα της εύρεσης μεθόδων για τον αναλυτικό υπολογισμό της λύσης ή της προσέγγισης αυτής.
   Στο μάθημα θα ασχοληθούμε κυρίως με μεθόδους προσέγγισης λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων με τη χρήση της αριθμητικής ανάλυσης. Η ανάγκη για την αριθμητική επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων καθορίζεται από τους παρακάτω λόγους:
   1. Οι περισσότερες συνήθεις διαφορικές εξισώσεις και κυρίως αυτές που εμφανίζονται στις εφαρμογές, δεν μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια των αναλυτικών τύπων, αν και μπορεί να διαπιστωθεί η ύπαρξη λύσης τους.
   2. Στις περισσότερες περιπτώσεις μας ενδιαφέρουν ορισμένες αριθμητικές τιμές της λύσης. Επομένως θα ήταν άσκοπο να βρούμε με τη βοήθεια των αναλυτικών τύπων εκείνη την παραγωγίσιμη συνάρτηση που πληροί το συγκεκριμένο πρόβλημα αρχικών τιμών και μετά να βρούμε την επιθυμητή αριθμητική τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της. Είναι άσκοπο γιατί υπάρχουν άλλες άμεσες μέθοδοι που μπορούν να υπολογίσουν αριθμητικές τιμές της λύσης ενός προβλήματος αρχικών τιμών χωρίς να χρησιμοποιούν την αναλυτική έκφραση που ίσως να υπάρχει.
   3. Πολλές φορές συμβαίνει η έκφραση ενός αναλυτικού τύπου για τη λύση ενός προβλήματος αρχικών τιμών να είναι πολύπλοκη έτσι ώστε η χρησιμοποίησή της, για την εύρεση ορισμένων αριθμητικών τιμών της, να είναι πρακτικά αδύνατη ή η προσπάθεια για τους υπολογισμούς των επιθυμητών τιμών με μια προκαθορισμένη ακρίβεια να είναι κοπιαστική.
   Η αριθμητική επίλυση απασχολεί την επιστημονική κοινότητα από την εποχή των Newton (Sir Isaac Newton, 1643–1727, Άγγλος Μαθηματικός και Φυσικός), Taylor (Brook Taylor, 1685–1731, Άγγλος Μαθηματικός) και Euler (Leonhard Euler, 1707–1783, Ελβετός Μαθηματικός και Φυσικός). Η επιστημονική σπουδαιότητα της αριθμητικής επίλυσης καθιερώθηκε το 1845, όταν οι Adams (John Couch Adams, 1819–1892, Βρετανός Μαθηματικός και Αστρονόμος) και Le Verrier (Urbain Jean Joseph Le Verrier, 1811–1877, Γάλλος Μαθηματικός), εργαζόμενοι ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, προέβλεψαν με τους υπολογισμούς τους την ύπαρξη και εντόπισαν τη θέση του πλανήτη Ποσειδώνα. Όμως, εδραιώθηκε αρκετά αργότερα, με τις παρακάτω σημαντικές εργασίες:
   1. Bashforth F., Adams J.C., An attempt to test the theories of capillary action by comparing the theoretical and measured forms of drops of fluid, with an explanation of the method of integration employed in constructing the tables which give the theoretical forms of such drops, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1883.
   2. Runge C., Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen, Mathematische Annalen, 46, pp.167–178, 1895.
   Στην πρώτη εργασία παρουσιάσθηκαν οι φημισμένες μέθοδοι «πολλαπλού βήματος» των Adams–Bashforth οι οποίες εφαρμόζονται πάρα πολύ ακόμη και σήμερα και τις οποίες θα μελετήσουμε στο μάθημα μας. Επίσης, στην εργασία αυτή δόθηκε και το έναυσμα για τις μεθόδους Adams–Moulton καθώς και την πρακτική χρήση των μεθόδων της σειράς Taylor τις οποίες και αυτές τις οποίες θα μελετήσουμε στο μάθημα μας. Η εργασία του Runge (Carl David Tolmé Runge, 1856–1927, Γερμανός Μαθηματικός και Φυσικός), αποτελεί τη βάση για τις μεθόδους του «απλού βήματος» οι οποίες εφαρμόζονται ακόμα στην εποχή μας (τις οποίες και αυτές θα μελετήσουμε στο μάθημα μας). Στην ανάπτυξη της αριθμητικής επίλυσης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, συνετέλεσε και η αλματώδης εξέλιξη των υπολογιστικών μηχανών, κατά τα τέλη του 19ου αιώνα. Η εξέλιξη αυτή είχε τεράστια ανάπτυξη μετά το τέλος του δεύτερου παγκόσμιου πολέμου. Αυτό έγινε παράλληλα με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Με τα νέα αυτά υπολογιστικά συστήματα, πραγματοποιήθηκαν εξαιρετικής σημασίας επιστημονικά επιτεύγματα τα οποία μέχρι τότε θεωρούνταν ακατόρθωτα. Η ερευνητική δραστηριότητα και ανάπτυξη της αριθμητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων παραμένει αμείωτη μέχρι τις μέρες μας.
   
   Η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων αφορά στην Αριθμητική Ανάλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων και μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο κλάδος των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που ασχολείται με την διακριτοποίηση «συνεχών» προβλημάτων των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων, των οποίων τη λύση θέλουμε να προσεγγίσουμε χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο (algorithm) (δηλαδή μια πεπερασμένη συνεχή αλληλουχία από αυστηρά καθορισμένες και εκτελέσιμες μία προς μία σε πεπερασμένο χρόνο εντολές που έχει αρχή και τέλος και στοχεύει στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος) και κατ’ επέκταση την υλοποίηση του αλγορίθμου με ένα πρόγραμμα (program) στον υπολογιστή (computer) (δηλαδή σε αυτόν που πραγματοποιεί διαδικασίες υπολογισμού). Ο von Neumann (John Louis von Neumann, 1903–1957, Ούγγρος Μαθηματικός) το 1945 έδωσε για το πρόγραμμα ένα γενικό ορισμό σύμφωνα με τον οποίο «το πρόγραμμα αποτελείται από μια συνεχή αλληλουχία εντολών τις οποίες ο υπολογιστής καλείται να εκτελέσει μία προς μία για να παραχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα». Για την δημιουργία ενός προγράμματος χρησιμοποιείται μια τεχνητή γλώσσα που επιτρέπει την επικοινωνία προγραμματιστή και υπολογιστή και η οποία ονομάζεται γλώσσα προγραμματισμού (programming language). Η διαδικασία της δημιουργίας του προγράμματος ονομάζεται προγραμματισμός (programming), ενώ το σύνολο των προγραμμάτων που χρησιμοποιούνται από τους υπολογιστές ονομάζεται λογισμικό (software). Έτσι σκοπός της Αριθμητικής Επίλυσης των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων είναι η μετατροπή προβλημάτων των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων σε ισοδύναμα προβλήματα επεξεργάσιμα από υπολογιστή, ώστε να μπορούν να επιλυθούν αριθμητικά για την απόκτηση αριθμητικών τιμών. Η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων είναι χρήσιμη και πολλές φορές απαραίτητη σε διάφορους κλάδους των Εφαρμοσμένων Επιστημών, όπως είναι η Φυσική, Αστρονομία, Υπολογιστική Βιολογία, Φυσική της Ιατρικής, Υπολογιστική Χημεία, Μετεωρολογία, κ.α. Συνεπώς, η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων ενδιαφέρει όλους τους χρήστες των Μαθηματικών στις εφαρμογές τους στην Επιστήμη και στην Τεχνολογία. Για τη μετατροπή των διαφόρων προβλημάτων των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων σε επεξεργάσιμα από υπολογιστή προβλήματα, η Αριθμητική Επίλυση αναπτύσσει κατάλληλες μεθόδους. Μια μέθοδος χαρακτηρίζεται ως κατάλληλη κυρίως όταν μας παρέχει με ακρίβεια και με βεβαιότητα το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα με το μικρότερο δυνατό υπολογιστικό κόστος σε συνδυασμό με το μικρότερο δυνατό απαιτούμενο χώρο αποθήκευσης ενδιάμεσων αποτελεσμάτων (μνήμης). Οι μέθοδοι που προκύπτουν διατυπώνονται σε μια έκφραση αλγορίθμου ώστε να υλοποιηθούν κατά τον οικονομικότερο τρόπο μέσω προγραμμάτων στον υπολογιστή. Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων μπορεί να διακριθεί σε δύο αλληλένδετα μέρη: (α) θεωρητικό μέρος που αφορά στη δημιουργία των κατάλληλων μεθόδων και (β) το πρακτικό ή εφαρμοσμένο μέρος που αφορά στην υλοποίηση των μεθόδων σε έναν υπολογιστή. Δυστυχώς, στην Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων δεν υπάρχει «πανάκεια», με την έννοια ότι για κάθε κατηγορία προβλημάτων υπάρχει μια συγκεκριμένη κατάλληλη μέθοδος. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι οι οποίες μπορούν να επιλύσουν ένα πρόβλημα, και η καθεμία έχει τα πλεονέκτημά της, αλλά και τα μειονεκτήματά της. Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων δίνει μεγάλη σημασία στο λεπτομερή προσχεδιασμό που απαιτείται για ένα συγκεκριμένο υπολογισμό. Σχετίζεται επίσης και με ζητήματα που αφορούν ακρίβεια, σφάλματα και έλεγχο. Σ' αυτό το σημείο πρέπει κανείς να συμφωνήσει με το μεγάλο επιστήμονα και πρωτοπόρο Albert Einstein (1879–1955) ο οποίος έλεγε:

   
   «Ανοησία είναι να προσδοκάς καλύτερα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας πάντα την ίδια μέθοδο».

   Βέβαια σημαντικό ρόλο παίζει και ο σωστός προσδιορισμός του προς επίλυση προβλήματος. Γι' αυτό χαρακτηριστικά αναφέρουμε τη ρήση του Albert Einstein ο οποίος έλεγε:

   
   «Ένα σωστά ορισμένο πρόβλημα έχει ήδη επιλυθεί κατά το ήμισυ»,

   καθώς και τη ρήση του Βολταίρου [Φρανσουά–Μαρί Αρουέ (François–Marie Arouet) επιλεγόμενος Βολταίρος (Voltaire) (1694–1778)] ο οποίος έλεγε:

   
   «Η σωστή λύση ενός λανθασμένα ορισμένου προβλήματος είναι εξίσου μη αποδεκτή με τη λανθασμένη λύση του σωστά ορισμένου προβλήματος».

   Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: «η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων συνίσταται στην ανάπτυξη και αξιολόγηση μεθόδων για τον υπολογισμό αριθμητικών αποτελεσμάτων από αριθμητικά δεδομένα». Έτσι, η Αριθμητική Επίλυση των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων θα μπορούσε να ορισθεί και να θεωρηθεί ως «ένα είδος επεξεργασίας πληροφοριών, όπου τα δεδομένα αποτελούν τις πληροφορίες εισόδου, τα αποτελέσματα τις πληροφορίες εξόδου, ενώ η μέθοδος υπολογισμού αποτελεί τον αλγόριθμο». Τελειώνοντας αναφέρουμε ότι θεωρητικά ένα αριθμητικό πρόβλημα θεωρείται λυμένο με την παράθεση ενός αλγορίθμου που εφαρμοζόμενος δίνει τη λύση του προβλήματος με κάθε επιθυμητή ακρίβεια.


2. Στόχος του μαθήματος: Στόχος του μαθήματος της «Αριθμητικής Επίλυσης των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων» είναι να διδαχθούν αποδοτικές και αποτελεσματικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών. Επίσης στόχος του μαθήματος είναι να αναπτυχθούν κριτήρια για την επιλογή της καταλληλότερης μεθόδου για την αντιμετώπιση ενός συγκεκριμένου προβλήματος. Θα αναπτύξουμε μεθόδους για την αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων τάξης ένα, όπως και για αντίστοιχα συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Το πρόβλημα της αριθμητικής επίλυσης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων μεγαλύτερης από ένα τάξης, ανασχηματίζεται εύκολα σε ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων τάξης ένα, οπότε και επιλύεται ανάλογα. Για την αριθμητική επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων υπάρχουν διάφορες μέθοδοι και η κάθε μια έχει πλεονεκτήματα αλλά και μειονεκτήματα. Η επιλογή της κάθε μεθόδου εξαρτάται από την επιθυμητή υπολογιστική ακρίβεια των τιμών της συνάρτησης, από το πλήθος των αριθμητικών υπολογισμών της αλλά και από το πόσο εύκολα μπορεί να προγραμματιστεί σε έναν υπολογιστή. Αλλά όπως θα δούμε, μετά την ανάπτυξη των αριθμητικών μεθόδων, η επιλογή με τα προηγούμενα κριτήρια της καταλληλότερης μεθόδου, γίνεται σχετικά εύκολα.


3. Θεματικές ενότητες του μαθήματος: Οι θεματικές ενότητες είναι οι ακόλουθες:
   1. Βασικές έννοιες: Θα μελετήσουμε την ανάγκη και τη χρησιμότητα των συνήθων διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, καθώς επίσης και τη χρησιμότητα των αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Ακόμα, θα παραθέσουμε βασικές έννοιες των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, καθώς επίσης και έννοιες για τη συμπεριφορά λύσεων διαφορικών εξισώσεων, και τη συμπεριφορά αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού προσεγγιστικών λύσεων.
   2. Μέθοδοι απλού βήματος: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι η ανάπτυξη και η μελέτη μεθόδων απλού βήματος για την αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Η επίλυση ενός προβλήματος αρχικών τιμών (η εύρεση της λύσης μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης που πληροί μια αρχική συνθήκη) θα αντιμετωπιστεί εδώ, με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων. Δηλαδή των μεθόδων εκείνων που προσδιορίζουν αριθμητικά τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης (η οποία εκφράζει τη λύση ενός προβλήματος αρχικών τιμών) σε μια πεπερασμένη ακολουθία σημείων του πεδίου ορισμού της. Θα δεχθούμε ότι τα σημεία αυτά είναι ισαπέχοντα και τη μεταξύ τους απόσταση θα την ονομάσουμε βήμα. Τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης θα τις προσδιορίζουμε διαδοχικά τη μία μετά την άλλη. Θα αναλύσουμε και θα μελετήσουμεε και την μέθοδο ανάπτυξης σε σειρά του Taylor. Επίσης θα μελετήσουμε συνέπεια, σύγκλιση και ευστάθεια μεθόδων απλού βήματος.
   3. Μέθοδοι Runge–Kutta: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να γνωρίσουμε τις μεθόδους απλού βήματος των Runge–Kutta. Επίσης να μελετήσουμε πώς αυτές δημιουργούνται, καθώς και τη σημασία και χρησιμότητά τους στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών. Ακόμη, να παρουσιάσουμε τα σφάλματα των μεθόδων Runge–Kutta, να δώσουμε τα φράγματα του τοπικού σφάλματος αποκοπής των μεθόδων αυτών και εκτιμήσεις των σφαλμάτων τους. Επίσης, να μελετήσουμε τον έλεγχο του βήματος των μεθόδων αυτών, καθώς τη συνέπεια και την ευστάθειά τους.
   4. Μέθοδοι πολλαπλού βήματος: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να παρουσιάσουμε τις μεθόδους πολλαπλού βήματος. Θα περιγράψουμε πώς οι μέθοδοι αυτές δημιουργούνται και θα μελετήσουμε τη σημασία και χρησιμότητά τους στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών. Θα εξετάσουμε τους ανοιχτούς τύπους των Adams–Bashforth, τους κλειστούς τύπους των Adams–Moulton, τις μεθόδους πρόβλεψης–διόρθωσης καθώς και τις μεθόδους πρόβλεψης–τροποποίησης–διόρθωσης. Επίσης θα μελετήσουμε πως να μεταβάλλουμε το βήμα στις μεθόδους πρόβλεψης–διόρθωσης, έτσι ώστε να επιλύουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών με μια προκαθορισμένη ακρίβεια. Θα εξετάσουμε τη μεταβολή του βήματος για την εκτίμηση του τοπικού σφάλματος αποκοπής. Στη συνέχεια θα αναπτυξουμε μεθόδους για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης ειδικής μορφής. Επίσης, θα μελετήσουμε την συνέπεια, σύγκλιση και ευστάθεια μεθόδων πολλαπλού βήματος και θα αναλύσουμε τις δύσκαμπτες εξισώσεις.
   5. Προβλήματα συνοριακών τιμών: Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να παρουσιάσουμε αριθμητικές μεθόδους επίλυσης σε προβλήματα συνοριακών τιμών στα οποία οι βοηθητικές συνθήκες δίνονται σε δύο ή περισσότερες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Θα περιγράψουμε τη μέθοδο της σκόπευσης ή των διαδοχικών διορθώσεων, τη μέθοδο της αναγωγής σε δύο προβλήματα αρχικών τιμών καθώς και τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών για γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις.
4. Φροντιστήρια και εργαστήρια του μαθήματος: Τα φροντιστήρια και εργαστήρια στοχεύουν στην ενίσχυση των γνώσεων και των δεξιοτήτων καθώς και στην απόκτηση ευχέρειας σε έννοιες που σχετίζονται με το μάθημα. Αυτό επιτυγχάνεται με την υποδειγματική επίλυση πολλών ασκήσεων καθώς και με εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης σε υπολογιστή, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave. Για τον σκοπό αυτό παρέχονται επιπλέον προαιρετικά εισαγωγικά μαθήματα στο MATLAB/Octave. Πιο συγκεκριμένα παρουσιάζεται μια εισαγωγή για τις δυνατότητες που μας προσφέρει το MATLAB/Octave εστιάζοντας τόσο στην ευκολία που μας παρέχει με το χειρισμό μητρώων όσο και στις απεικονιστικές του δυνατότητες. Ακολούθως, δίνεται μια εισαγωγή στις επαναληπτικές δομές καθώς και στις δομές ελέγχου με προοπτική την χρήση τους στις αριθμητικές μεθόδους που θα υλοποιηθούν κατά την διάρκεια του μαθήματος. Κύριος στόχος του εργαστηρίου είναι η συστηματική προσέγγιση και κατάρτιση καθώς και η καλλιέργεια στους φοιτητές και στις φοιτήτριες της ικανότητας σύλληψης και απόδοσης των εννοιών του μαθήματος. Τα εργαστηριακά μαθήματα πραγματοποιούνται στην αίθουσα 035 στο χώρο του Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών το οποίο λειτουργεί στις αίθουσες 035, 036, 037, 038, 039, 040, 044, 015, 145 του κτηρίου Βιολογίας/Μαθηματικών με ώρες λειτουργίας 9:00–20:00, κατά τις εργάσιμες ημέρες. Κάθε Χρήστης που χρησιμοποιεί τους χώρους και τα συστήματα που ελέγχει το Εργαστηρίου Ηλεκτρονικών Υπολογιστών & Εφαρμογών θα πρέπει να γνωρίζει και να τηρεί τον Κανονισμό του Εργαστηρίου.


5. Συμμετοχή στην τάξη και παρακολουθήσεις: Παρ’ ότι η παρακολούθηση δεν είναι υποχρεωτική η συμμετοχή στις παραδόσεις είναι σίγουρα σημαντική και καθοριστική διότι η διδασκαλία αποτελεί μια δυναμική διαδικασία η οποία, με βάση τα πλαίσια της διδακτέας ύλης, προσαρμόζεται σύμφωνα με τις ερωτήσεις και απορίες των συμμετεχόντων φοιτητών και φοιτητριών. Έτσι στις παραδόσεις παρέχονται επιπλέον πληροφορίες και γι’ αυτό παροτρύνουμε τους συμμετέχοντες φοιτητές και φοιτήτριες να κρατούν σχολαστικά σημειώσεις οι οποίες θα τους βοηθήσουν στην μελέτη τους. Επίσης τους παροτρύνουμε να συμμετέχουν στα παρεχόμενα φροντιστήρια και εργαστήρια διότι έτσι θα ενισχυθούν οι γνώσεις τους στις έννοιες του μαθήματος καθώς και οι δεξιότητες τους στην υλοποίηση των μεθόδων με τις προαιρετικές εργαστηριακές ασκήσεις εξάσκησης, με χρήση του περιβάλλοντος μαθηματικών υπολογισμών MATLAB/Octave.